动态规划第4讲——计数问题中的DP算法
来源:互联网 发布:软件类型分类 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 19:56
DP不仅广泛用于各种最优化问题,也常常用于排列组合的个数、概率期望计算等等,因为这些问题往往具有很好的“ 重叠子问题”特性,这些问题往往都起源于排列组合中的组合公式A(n, k) = A(n-1, k) + A(n-1, k-1)
例一:求解划分数
有n个无差别的物品,将他们划分成不超过m组,求划分方法数除以M的余数。
分析:dp[i][j]j的i划分的总数dp[i][j] = dp[i][j-i] + dp[i-1][j] 物理意义:将j个物品分成i份,有两种情况:每份划分都大于等于1 dp[i][j-i]; 存在有一份以上用0划分dp[i-1][j]
例二:有n种物品,第i种有a[i]个,从中选取m个,有多少种不同的选择方法?
dp[i+1][j]:从[0, i]号物品中选取j个物品的方法。dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1]
这是我们很直观想到的一个递推关系:dp[i][j]:从i号物品中选0个, dp[i+1][j-1]从i号物品中至少选择1个
实际上,由于是多重集而不是完全集合,因为我们已经选取了一个i号物品,所以dp[i+1][j-1]表示的不是从i号物品中选择至少一个的数目,因为dp[i+1][j-1]包含了选取a[i]个i号物品,而实际上,这种情况是因该去掉的(因为i号物品的数量已经是a[i]-1了)。so, 结果的基础上,需要减去dp[i][j-a[i]-1],也就是
dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1] - dp[i][j-1-a[i]];
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