利用动态规划解决实际问题之多次兑换获取最大外汇收益

题目：

15.3-6假定你希望兑换外汇，你意识到与其直接兑换，不如进行多种外币的一系列兑换，最后兑换到你想要的那种外币，可能会获得更大收益。假定你可以交易n种不同的货币，编号为1,2.....n，兑换从1号货币开始，最终兑换为n号货币。对每两种货币i和j给定汇率rij,意味着你如果有d个单位的货币i,可以兑换dr0个单位的货币j.进行一系列的交易需要支付一定的佣金，金额取决于交易次数。令ck表示k次交易需要支付的佣金。证明：如果对所有k=1,2...n,ck=0,那么寻找最优兑换序列的问题具有最优子结构性质。然后请证明：如果佣金ck为任意值，那么问题不一定具有最优子结构性质。

题目虽然没有要求写出算法，但我也给出算法。

//15.3-6多次兑换货币换取最大收益，本次使用的方法是带备忘的递归#include <iostream>using namespace std;#define n 4struct Currency_Exchange{double **r;//储存汇率int *s;//储存外汇最佳方式的变量Currency_Exchange(){r=new double *[n];for (int i=0;i<n;i++){r[i]=new double[n];}s=new int [n];}};struct Best_Currency_Exchange{static double Max;//最大收益static double Min;//最小收益int *t;static int end;Best_Currency_Exchange(){        t=new int[n];}};double Best_Currency_Exchange::Max=-0x7fffffff;double Best_Currency_Exchange::Min=0x7fffffff;int Best_Currency_Exchange::end=0x7fffffff;void init(Currency_Exchange T,Best_Currency_Exchange Result)//结构体的初始化{for (int i=0;i<n;i++){for (int j=0;j<n;j++){T.r[i][j]=-0x7fffffff;}T.s[i]=-0x7fffffff;Result.t[i]=-0x7fffffff;}Result.end=-1;}inline void swap(int* array, unsigned int i, unsigned int j)  {      int t = array[i];      array[i] = array[j];      array[j] = t;  } void Print(int i){switch (i){case 0:cout<<"欧元(EUR-0)-->";break;case 1:cout<<"坡元(SGD-1)-->";break;case 2:cout<<"加元(CAD-2)-->";break;    case 3:cout<<"澳元(AUD-3)-->";break;case 4:cout<<"日元(JPY-4)-->";break;case 5:cout<<"台币(CHF-5)-->";break;case 6:cout<<"英镑(GBP-6)-->";break;default: cout<<"超出范围，输入错误！"<<endl;break;}}  Best_Currency_Exchange  FullArray(int* array, size_t array_size, unsigned int index,Currency_Exchange T,Best_Currency_Exchange Result)  {  static int k=0,t=0; static double m=1.0,M=1.0;//m保存总收益值，M保存除最后一个元素外的总收益if(index>=0)    {  k++;int j=0;cout<<"k="<<k<<":";if (index>=1){m=M;if(m==1.0) {               m*=T.r[0][array[0]];   M=m;}    T.s[0]=0;for (int h=0;h<t;h++){//这个循环以及下面的print函数只是为了查看所有可能的兑换方式。Print(array[h]);cout<<' ';}for(unsigned int i = t; i < index; ++i)  {  //i=t 表示记录了i=0~t-1所有子结构所得的收益值，使所有重叠的子结构仅仅进行一次计算以达到动态规划目的Print(array[i]);cout<<' '; T.s[i+1]=array[i];if (i==index-1)m*=T.r[array[i]][n-1];else {                    M*=T.r[array[i]][array[i+1]];m=M;t++;}}if(i<n-1){               T.s[i+1]=n-1;}i++;j=i;}else if(index==0){M=m=T.r[0][n-1];T.s[j++]=0;T.s[j++]=n-1;}cout<<"m="<<m;if (Result.Max<m){Result.Max=m;Result.end=j;for (int q=0;q<=Result.end;q++){Result.t[q]=T.s[q];}}if (Result.Min>m){Result.Min=m;}        cout << '\n'; if (index==0){M=1.0;}    }      if (index==array_size)    {//每次两者相等条件成立后，以后的所有结构都没有之前的子结构了，所以再次递归前与递归后不可能有重叠子结构。t=0;m=1.0;M=1.0;//所以满足条件后回归初始状态。return  Result;    }    for(unsigned int i = index; i < array_size; ++i)      {          swap(array, i, index);            FullArray(array, array_size, index + 1,T,Result);            swap(array, i, index);      } return  Result;}  void main(){    Currency_Exchange T;Best_Currency_Exchange Result;init(T,Result);//结构体的初始化for (int i=0;i<n;i++){for (int j=0;j<n;j++){cout<<"请输入";Print(i);cout<<"-->";Print(j);cin>>T.r[i][j];cout<<endl;}}int array[n-2]={1,2};Best_Currency_Exchange Result1=FullArray(array, n-2,0, T,Result);cout<<"最佳兑换方式：";for (int k=0;k<=Result1.end;k++){if (Result1.t[k]>-0x7fffffff){Print(Result1.t[k]);}}cout<<endl;cout<<"最大收益为：";    cout<<Result1.Max<<endl;cout<<"最小收益为：";cout<<Result1.Min<<endl;cout<<"两者差值为："<<endl;cout<<Result1.Max-Result1.Min<<endl;}

数据实例图：

不加额外手续费的结果图：

如果算上额外任意手续费就会如下图：

总结：

       故手续费为0时，可以用最优子结构，手续费任意时就不能用了。本程序适合总共只有7种外汇兑换，而如果再多兑换，那么就要更改print函数，不过我们可以只用数字1,2...n代表外汇，删掉print函数。另外感觉动态规划用到这里感觉就是大材小用了，因为实际主要外汇就不超过8种，所有可能的排列方式为p(6,1)+p(6,2)+p(6,3)+p(6,4)+p(6,5)+p(6,6) =1956种。所以以现在的普通计算机计算速度，完全可以在几秒内解决。有人可能问，为什么是6种外汇排列而不是8种外汇排列？那是因为要计算外汇A以何种方式兑换到外汇B，这AB外汇位置顺序是固定不变的，所以不用对AB这两种外汇排列。但是确实多种外汇兑换符合动态规划原理。并且在实际应用过程中，外汇汇率是千变万化的，所以仅用此程序是远远不能计算最大利润的。