【数学】博弈论

PN状态：

面临P为必败态，面临N为必胜态

当可以走到P状态时，该点为N状态

当无论怎么走都只能走到N状态时，该点为P状态


SG函数：

定义mex(minimal excludant)运算：施加于集合，表示最小的不属于这个集合的非负整数

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x) = mex { g(y)  |  y是x的后继 }

定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。则g(G) = g(G1) ^ g(G2) ^ … ^ g(Gn)


三种经典博弈：

1、巴什博奕：有一堆n个石子，两个人轮流取，每次至少取一个、至多取m 个，最后取光者胜

规律：n%(m+1)==0 时后手胜，否则先手胜

2、威佐夫博奕：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，每次至少取一个，多者不限，最后取光者胜

用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势

面对非奇异局势，先拿者必胜；否则后拿者取胜

前几个奇异局势是：（0，0）（1，2）（3，5）（4，7）（6，10）（8，13）（9，15）（11，18）（12，20）

规律一：a0 = b0 = 0，ak是未在前面出现过的最小自然数，bk = ak + k

规律二：ak = [k（1+√5）/2]，bk = ak + k ( k = 0，1，2，…,n  方括号表示取整函数 )

奇异局势的性质：

(1)任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中

(2)任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势

(3)采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势

判断状态是否为奇异状态：

bool SP_judge(int x,int y){ //x,y为当前状态,返回是否为奇异状态    if(x > y) swap(x,y);    if(x == (int)((y - x)*(1 + sqrt(5.0))/2))        return true;    else return false;}

3、尼姆博弈：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，每次至少取一个，多者不限，最后取光者胜

规律：对任何奇异局势（a，b，c）都有 a ^ b ^ c  = 0

将非奇异局势（a，b，c）变为奇异局势：假设 a<b<c，只需将 c 变为 a ^ b，即从c中减去 c -（a ^ b）

尼姆博弈可以推广到 n 堆物品的情形