N元语法模型的数据稀疏问题解决方法之一：Good-Turing平滑

        在统计语言模型章节中，我们谈到了N元语法模型不可避免的一个问题，就是数据稀疏，其原因是大规模语料统计与有限语料的矛盾。根据齐普夫（Zipf）法则，我们能够推测知零概率问题不可避免。数据稀疏问题的解决办法就是进行平滑处理。平滑处理的算法有很多，本文将介绍众多算法中的佼佼者：古德-图灵（Good-Turing）平滑算法。

        古德-图灵（Good-Turing）估计法是很多平滑技术的核心，于1953年有古德（I.J.Good）引用图灵（Turing）的方法而提出来的。其基本思想是：利用频率的类别信息来平滑频率。对于任何发生r次数的n元语法，都假设它发生了r*次。

        其中，nr是训练语料中正好发生r次的N元组的个数。也就是说，发生r次的N元组的调整由发生r次的N元组与发生r+1次的N元组两个类别共同决定。统计数为r*次的N元组，其概率为：
        我们注意到：
        也就是说，N等于这个分布中最初的统计。那样，样本中所有事件的概率之和为
        因此，可以这样说我们把你n1/N的概率剩量分配给未见事件。为了更好地理解古德-图灵（Good-Turing）估计法，以一个例子来讲解。
        训练集合：T={<s>what is it what is small?}|T|=8
        验证集合：V={what is it small ? <s> flying birds are a bird.}, |V|=12
        在训练集合上，我们得到：p(<s>)=p(it)=p(small)=p(?)=0.125, p(what)=p(is)=0.25，其他为0
        如果不经过平滑处理，则验证集上两句子的概率分别为：p(what is it?)=（0.25*2）*（0.125*2）≈0.001  p(it is flying.)=0.125*0.25*（0*2）=0
        现在用古德-图灵算法进行平滑处理，如下：
        首先计算，各发生r次N元组类别的数目，依次为 N(0)=6,N(1)=4,N(2)=2,N(i)=0 ,i>2:
        其次，重新估计各概率值。
        对于发生0次的事件概率：Pr(.)=p(flying)=p(birds)=p(are)=p(bird)=p(a)= (0+1)*N(0+1)/(8*N(0))=1*4/(8*6)≈0.083
        对于发生1次的时间概率：Pr(it)=p(<s>)=p(small)=p(?)=(1+1)*N(1+1)/(8*N(1))=2*2 /(8*4)=0.125
        对于发生两次的时间概率：Pr(what)=Pr(is)=(2+1)*N(2+1)/(8*N(2))=3*0/(8*2)=0: 保持原值0.25
        归一化处理，6*P0+4*P1+2*P2=1.5。.
        所以，归一化处理后，p’(it)=p’(<s>)=p’ (small)=p’(?)= 0.125/1.5 ≈0.08,  p’(what)=p’(is)= 0.25/1.5 ≈0.17,  
        p’(.)=p’(birds)=p’(are)=p’(bird)=p’(a) = 0.083/1.5  ≈0.06
        因此：p’(what is it?)=（0175*2）*（0.08*2）≈0.0002   p’(it is flying.) ≈ 0.08*0.17*（0.06*2）≈0.00004