快速幂取余

求a^b mod c

 算法1.

首先直接地来设计这个算法：

int  ans=1, i;for(i=1;i<=b;i++)    ans*=a;ans%=c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.

这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

a^b mod c=(a mod c)^b

引理：

(a *b) mod c =[ ( a mod c )* (b mod c) ] mod c ;

证明： 设 a mod c =d，b mod c= e;

       则：a=t*c + d ;  b=k*c + e ;

       (a*b)mod c = (t*c+d)(t*c+e)

                 = (tk c^2 + ( te+dk ) *c + d*e) mod c

                 =de mod c

即积的取余等于取余的积的取余.

(a ^ b)mod c 由上述公式迭代即可得到 ( a mod c)^b.

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，于是不用思考的进行了改进：

 算法2：

int ans = 1 , i ;   a = a % c; //加上这一句  for ( i = 1;i<=b;i++)      ans = ans * a;   ans = ans % c;  

既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。 

算法3：

int  ans = 1 ,i ;  a = a % c;for(int i = 1;i<=b;i++)     ans = (ans * a) % c; //这里再取了一次余 ans = ans % c; 

 

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。 

快速幂取余依赖于以下公式：

 

那么我们可以得到以下算法： 

算法4： 

int  ans = 1 ，i ; a = a % c; if (b%2==1)  ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，                     可以提前算到 ans 中。k = (a*a) % c;  //我们取a^2 而不是a for( i = 1;i<=b/2;i++)     ans = (ans * k) % c;  ans = ans % c;   

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).

当然，这样子治标不治本。

但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为 k^(b/2) mod c

而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过 ans = (ans * a) % c;

来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。 

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。

于是便可以在O（log b）的时间内完成了。

于是，有了最终的算法：快速幂算法。 

算法5：快速幂算法  

int ans = 1;a = a % c; while(b>0) {       if(b % 2 == 1)          ans = (ans * a) % c;     b = b/2;     a = (a * a) % c;  }  

将上述的代码结构化，也就是写成函数： 

long long  PowerMod (int a, int b, int c) {      int  ans = 1;     a = a % c;     while(b>0) {          if(b % 2 = = 1)             ans = (ans * a) % c;         b = b/2;       //   b>>=1;        a = (a * a) % c;     }     return ans; }  

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。 

 

以下内容仅供参考： 

 扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。 

a^b%c 求解这个问题，我们也可以从二进制转换来考虑： 

将10进制的b转化成2

进制的表达式：

 

注意此处的an要么为0，要么为1，如果为0，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况；

为1对应了b是奇数的情况.