最短路径Ⅲ—Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法(Johnson算法暂时不介绍)

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法（点击链接）

3.算法代码实现

typedef struct          {            char vertex[VertexNum];                                //顶点表             int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表             int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         }MGraph; void Floyd(MGraph g){ 　　int A[MAXV][MAXV]; 　　int path[MAXV][MAXV]; 　　int i,j,k,n=g.n; 　　for(i=0;i<n;i++)    　　for(j=0;j<n;j++)    　　{ 　　             A[i][j]=g.edges[i][j];         　　 path[i][j]=-1;     　 } 　　for(k=0;k<n;k++) 　　{       　　for(i=0;i<n;i++)         　　for(j=0;j<n;j++)             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))             　　{                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];                   　　path[i][j]=k;              　 }     　} } 

算法时间复杂度:O(n³)