快速幂取模

快速幂取模算法



例如：求a^b % c 

算法1.

int ans = 1;

for(int i = 1;i<=b;i++)
      ans = ans * a;

ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

算法2：     

int ans = 1;       //  a^b%c = (a%c)^b%c
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++）
       ans = ans * a;

ans = ans % c;

算法3:

int ans = 1;

a = a % c;                    //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
    ans = (ans * a) % c;      //这里再取了一次余

ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，

快速幂算法依赖于以下明显的公式。

算法4：

int ans = 1;

a = a % c;
if(b%2==1)

       ans = (ans * a) mod c;     //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c;                   //我们取a^2而不是a

for(int i = 1;i<=b/2;i++）

      ans = (ans * k) % c;

ans = ans % c;

我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为k^(b/2) mod c而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代。当b是奇数时，我们通过ans = (ans * a) % c来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。

算法5：快速幂算法

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)
{
  if(b % 2 == 1)      // 如果b是奇数时
      ans = (ans * a) % c;

  b = b/2;

  a = (a * a) % c;

}


将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c)

{
  int ans = 1;
  a = a % c;
  while(b>0)
  {
     if(b % 2 = = 1)            // 如果b是奇数时
          ans = (ans * a) % c;
     b = b/2;
     a = (a * a) % c;
  }
  return ans;

}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。