数学知识汇总

圆上一点的切线方程

(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点（X0，Y0）该点的切线方程：

（X-a)（X0-a)+（Y-b）（Y0-b)=r*2

点到直线的距离公式

直线（一般式）：Ax＋By＋C＝0坐标（Xo，Yo），，那么这点到这直线的距离就为：（AXo＋BYo＋C）的绝对值除以根号下（A的平方加上B的平方

若直线4x-3y-2=0与圆x平方+y平方-2ax+4y+a平方-12=0总有两个不同的交点，求a的取值范围

圆方程（x-a)^2+(y+2)^2=16;  圆心为（a，-2）半径为4 【直线与圆有2个不同交点，那么是不是圆心到这条直线的距离要小于半径？等于半径的话正好相切】圆心（a，-2) 与直线的距离d小于圆半径4   则总有两个不同的交点d=|4a-3*(-2)-2|/根号（4^2+3^2)   <4化简：d=|4a+4|/5 <4    -6<a<4 注解公式：d已知点P(a,b),求到直线Ax+By+C=0的距离|Aa+Bb+C|----------根号下(A平方加上B平方)

圆(X-3)的平方+（Y-3)的平方=9上到直线3X+4Y-11=0的距离等于1的点有？

解 由点到直线距离公式 d=|3x+4y-11|/5=1到3X+4Y-11=0的距离等于1的直线为3x+4y-16=0 或 3x+4y-6=0分别与X-3)的平方+（Y-3)的平方=9联立解方程得 [（12+8根号2）/5 ,(11-6根号2)/5] ,[（12-8根号2）/5 ,(11+6根号2)/5](6/5,3/5) 共3点

在圆（x-2）^2+(y+3)^2=2上与点（0，-5）距离最大的点的坐标是？

圆上到固定点最大，最小距离点均在通过圆心和固定点的直线上令直线解析式：y=kx+b,由于直线通过点（2，-3）和（0，-5）可得直线解析式：y=x-5又直线与圆相交，联立y=x-5和（x-2）^2+(y+3)^2=2解得(x,y)=(3,-2)或（1，-4）（此为最小距离点，舍去）故圆固定点（0，-5）的最大距离点为（3，-2）

若直线x+y=r与圆x²+y²=r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2

直线x－y＋4＝0被圆x²＋y²＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于(     )．

解析：因为圆的标准方程为(x＋2)²＋(y－2)²＝2，

圆心为（-2,2）；半径为r=√2

显然直线x－y＋4＝0经过圆心．

所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于2．

过点P(2，1)且与圆x²+y²-2x+2y+1=0相切的直线的方程为.

配方：(x-1)^2+(y+1)^2=1圆心为（1，-1），半径为1显然有一条垂直切线：x=2设另一条切线为：y=k(x-2)+1则圆心到直线的距离等于半径，即：|k(1-2)+1+1|^2/(1+k^2)=1即：(k-2)^2=1+k^2k=3/4因此另一条切线为：y=3(x-2)/4+1=3x/4-1/2

也可用普通法求
(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点（X0，Y0）该点的切线方程：
（X-a)（X0-a)+（Y-b）（Y0-b)=r*2

已知P（3,0）是圆X2+Y2-8X-2Y+12=0内一点，则过点P的最短弦所在的直线的方程是？

解：把圆的方程化为标准方程得：（x-4）^2+（y-1）^2=5，∴圆心A的坐标为（4，1），由题意可知：过P最长的弦是圆的直径，且P（3，0），此时直线AP的方程的斜率为=1，又过P最短弦所在直线与直线AP垂直∴过P最短弦所在直线的斜率k=-1，则所求直线的方程为y=-1（x-3），即x+y-3=0．

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.求求该圆的圆心坐标及半径

圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0联立，消去x5y²-20y+12+m=0由韦达定理∴ y1+y2=4 ，y1y2=(12+m)/5 ∴ x1x2=(3-2y1)(3-2y2)             =9-6(y1+y2)+4y1y2             =-15+4(12+m)/5 ∵ OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0∴ -15+4(12+m)/5 +(12+m)/5 =0∴ 12+m-15=0∴ m=3∴圆方程x²+y²+x-6y+3=0即(x+1/2)²+(y-3)²=25/4∴ 圆心坐标(-1/2,3)，半径5/2

直线l：y=k（x-2）+4与曲线C：y=1+
4−x2有两个交点，则k的取值范围
（512，34]
．

直线与圆相交的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用；直线与圆．
分析：根据直线方程的点斜式和圆的方程，可得直线l经过点A（2，4），曲线C表示以（0，1）圆心半径为2的圆的上半圆．由此作出图形，求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的最小值，结合图形加以观察即可得到本题答案．
解答：解：∵直线l：y=k（x-2）+4经过定点A（2，4）
曲线C：y=1+
4−x2化简得x2+（y-1）2=4，
表示以（0，1）圆心半径为2的圆的上半圆
∴直线l与曲线C有两个交点，即直线与半圆相交
求得当直线与半圆相切时，斜率k=512
当直线l为经过点B（-2，1）时，是斜率k的最大值，此时k=34
动直线l位于切线与AB之间（包括AB）时，直线l与曲线C有两个交点，
∴k的取值范围为（512，34]
故答案为：（512，34]
点评：本题以两条曲线有两个交点为例，求斜率k的范围，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．