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原根

来源：互联网发布：软件协议工程师要求编辑：程序博客网时间：2024/04/28 14:10

在数论，特别是整除理论中，原根是一个很重要的概念。

对于两个正整数 $gcd(a,m)=1$ ，由欧拉定理可知，存在正整数 $d \le m-1$ ，比如说欧拉函数 $d= \phi (m)$ ，即小于等于 m 的正整数中与 m 互质的正整数的个数，使得 $a^d \equiv 1 \pmod{m}$ 。

由此，在 $gcd(a,m)=1$ 时，定义 $a$ 对模 $m$ 的指数 $Ord_m(a)$ 为使 $a^d \equiv 1 \pmod{m}$ 成立的最小的正整数 $d$ 。由前知 $Ord_m(a)$ 一定小于等于 $\phi (m)$ ，若 $Ord_m (a) = \phi (m)$ ，则称 $a$ 是模 $m$ 的原根。

可以证明，如果正整数 $(a,m)=1$ 和正整数 d 满足 $a^d \equiv 1 \pmod{m}$ ，则 $Ord_m (a)$ 整除 d。^[1]因此 $Ord_m (a)$ 整除 $\phi (m)$ 。在例子中，当 $a=3$ 时，我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。

记 $\delta = Ord_m (a)$ ，则 $a^0,a^1,a^2 \cdots , a^{\delta -1}$ 模 m 两两不同余。因此当 $a$ 是模 $m$ 的原根时， $a^0,a^1,a^2 \cdots , a^{\delta -1}$ 构成模 m 的简化剩余系。

模 $m$ 有原根的充要条件是 $m = 2 , 4 , p^n , 2p^n$ ，其中 $p$ 是奇质数， $n$ 是任意正整数。

对正整数 $(a,m)=1$ ，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群 Z/mZ 的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Z_n^×的一个生成元。由于Z_n^×有 $\phi (m)$ 个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 $\phi (\phi (m))$ 个，因此当模 $m$ 有原根时，它有 $\phi (\phi (m))$ 个原根。

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