原根

 

原根

分类： 数论2013-05-04 12:14 76人阅读 评论(0) 收藏 举报

定理：如果p为素数，那么素数p一定存在原根，并且p的原根的个数为phi(p-1).

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根.

假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,那么g可以称为是P的一个原根,归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且

仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数).

求原根目前的做法只能是从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且当指数为P-1的时候成立。而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到.

 

求一个奇素数的所有原根方法。

设g是P的平方非剩余，是P-1的标准分解式，若恒有成立，

则g就是P的原根。

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1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <algorithm>  
4. #include <stdio.h>  
5.   
6. using namespace std;  
7.   
8. #define LL long long  
9.   
10. const int N = 1000010;  
11.   
12. bool prime[N];  
13. LL p[N];  
14. LL pr[N];  
15. LL k=0,c;  
16.   
17. void isprime()  
18. {  
19.     LL i,j;  
20.     memset(prime,true,sizeof(prime));  
21.     for(i=2;i<N;i++)  
22.     {  
23.         if(prime[i])  
24.         {  
25.             p[k++]=i;  
26.             for(j=i+i;j<N;j+=i)  
27.             {  
28.                 prime[j]=false;  
29.             }  
30.         }  
31.     }  
32. }  
33.   
34. void cal(LL n)  
35. {  
36.     LL t=n,i,a;c=0;  
37.     for(i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)  
38.     {  
39.         if(n%p[i]==0)  
40.         {  
41.             pr[c]=p[i];  
42.             while(n%p[i]==0) n/=p[i];  
43.             c++;  
44.         }  
45.     }  
46.     if(n>1)  
47.     {  
48.         pr[c]=n;  
49.         c++;  
50.     }  
51. }  
52.   
53. LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)  
54. {  
55.     LL ans=1;  
56.     a%=m;  
57.     while(b)  
58.     {  
59.         if(b&1)  
60.         {  
61.             ans=ans*a%m;  
62.             b--;  
63.         }  
64.         b>>=1;  
65.         a=a*a%m;  
66.     }  
67.     return ans;  
68. }  
69.   
70. int main()  
71. {  
72.     LL P,i,t,g,root;  
73.     isprime();  
74.     while(cin>>P)  
75.     {  
76.         cal(P-1);  
77.         for(g=2;g<P;g++)  
78.         {  
79.             bool flag=true;  
80.             for(i=0;i<c;i++)  
81.             {  
82.                 t=(P-1)/pr[i];  
83.                 if(quick_mod(g,t,P)==1)  
84.                 {  
85.                    flag=false;  
86.                    break;  
87.                 }  
88.             }  
89.             if(flag)  
90.             {  
91.                 root=g;  
92.                 cout<<root<<endl;  
93.             }  
94.         }  
95.     }  
96.     return 0;  
97. }