原根

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定义：设，，使得成立的最小的，称为对模的阶，记为。

定理：如果模有原根，那么它一共有个原根。

定理：若，，，则。

定理：如果为素数，那么素数一定存在原根，并且模的原根的个数为。

定理：设是正整数，是整数，若模的阶等于，则称为模的一个原根。

   假设一个数对于模来说是原根，那么的结果两两不同,且有，那么可以称为是模的一个原根，归根到底就是当且仅当指数为的时候成立。（这里是素数）

模有原根的充要条件：，其中是奇素数。

 

求模素数原根的方法：对素因子分解，即是的标准分解式，若恒有

          

成立，则就是的原根。（对于合数求原根，只需把换成即可）

#include <iostream>#include <string.h>#include <algorithm>#include <stdio.h>#include <math.h>#include <bitset>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1000010;bitset<N> prime;int p[N],pri[N];int k,cnt;void isprime(){    prime.set();    for(int i=2; i<N; i++)    {        if(prime[i])        {            p[k++] = i;            for(int j=i+i; j<N; j+=i)                prime[j] = false;        }    }}void Divide(int n){    cnt = 0;    int t = (int)sqrt(1.0*n);    for(int i=0; p[i]<=t; i++)    {        if(n%p[i]==0)        {            pri[cnt++] = p[i];            while(n%p[i]==0) n /= p[i];        }    }    if(n > 1)        pri[cnt++] = n;}LL quick_mod(LL a,LL b,LL m){    LL ans = 1;    a %= m;    while(b)    {        if(b&1)        {            ans = ans * a % m;            b--;        }        b >>= 1;        a = a * a % m;    }    return ans;}int main(){    int P;    isprime();    while(cin>>P)    {        Divide(P-1);        for(int g=2; g<P; g++)        {            bool flag = true;            for(int i=0; i<cnt; i++)            {                int t = (P - 1) / pri[i];                if(quick_mod(g,t,P) == 1)                {                    flag = false;                    break;                }            }            if(flag)            {                int root = g;                cout<<root<<endl;            }        }    }    return 0;}