百字推翻百年集合论和几千年“任何正数x=2(x/2)"

百字推翻百年集合论和几千年“任何正数x=2(x/2)"

———再三论证数学书有隐瞒不了的极重大根本错误

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631

 [摘要]再三论证：[0，2]内有一半元素x都≠2(x/2)而无对应数x/2、将y=x数轴与人们未知的y=2x等数轴混为一谈就搞错了变量的变域,从而不知有等长的两线段（点集）却不能分别包含同样多（个）点。据“两集不对等就更谈不上相等”仅用百字就推翻了百多年无穷集论和几千年“任何正数y=k（y/k）”。

关键词  百字推翻百年无穷集论  有正数x ≠ 2(x/2)  搞错变量的变域  最重大根本错误  y=2x等未知数轴

一、由傻瓜数学获重大发现：有正数x≠2（x/2）

y=f(x)是说对于x的变域内的所有（任何）数x都有对应数y=f(x)。说数集J内一个不漏的一切数x全都有数比其小，不就是说有数<J内一切数x吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。

有傻瓜相机也有傻瓜数学：据语文常识，说对于正数集D的所有数x都有对应数y=f(x)比其小，就是说有数y<D内一切数x。例如，说对于无穷集（1，2）的所有数x都有对应正数y=x/2<x，就是说有正数y<（1，2）的所有数x。即在y＜x中的y必可在x的变域U外取数y <U的所有数x。当然，缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的。

形如x≡2（x/2）的正数x的全体组成正数集V，凡可表为x= x/2+x/2的正数x都可纳入V内。对于V的所有数x都有对应正数y= x/2<x，表明有V外正数y <V的所有正数x。这显然是比无理数更“无理”的更无理数。因为V由一切形如x=2(x/2)的正数组成，所以V外正数x必≠2(x/2)而无对应数x/2！

二、百字推翻：百年集合论和几千年“任何正数y=k（y/k）”

搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。若任何正数都能由2x>0中的x代表，则并非任何正数都能由此2x代表。

若（1）式0 ≤x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的（2）式0 ≤2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。

曲线积分论的理论根据是：充分短的曲线段几乎是直线段。曲线段点集M为何与相应的以切点为公共点的切线段点集N近似相等？因M的各点与N的各点一一对应几乎重合或重合在一起。M可看成是由N的各点都发生位移而成的。

最关键的是若Z与2D是同一数集，则两者必对等即Z的各元必与2D的各元一一对应，这是Z=2D的必要条件。若数集A=B，则因A与B是同一数集，故其各元具独特的性质S：A内由小（大）到大（小）的每一 数x与B内由小（大）到大（小）的每一数y一一对应相等。

注！几何常识：沿数轴运动的动点由位置b处运动至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处,虽然2处之间有无穷多个位置。故应有相应的代数常识：变域为闭区间等的变量必能有序地遍取其变域内的一切数；否则就如连正方形对角线的长也不能定量阐明那样表明…。由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝对不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握；由小到大取值且变域为无穷集Z的变量y取2后就无数可取了。

增函数y = f (x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x;所有对应数y组成的以y为元素的集合Z就是 f(x) 的值域。2x中的x从取1起由大到小地取出一个个数x就派生出从大到小的一个个 2x=y，组成Z。这是增函数的重要特点T。

形如y =2（y/2）=2x的数y都有对应数y/2=x, 将这类数称为B数。2D的所有B数y=2x组成了Z＝[0，2]B数）。

D的各元x均由x变换为y=2x就形成了以y为元素的新的数集Z与D对等：D内有多少（个）x，Z内也有多少（个）y。

Z与2D是同一数集吗？因为Z的各元2x是由D（而非2D）的各元x均由x变换为2x而来的，所以Z与D对等而不能与2D对等。两集不对等就更谈不上相等了。所以Z～D是2D的真子集，这昭示2D内有非B数！所以：

①数学有史几千年来一直断定的“任何正数y=2（y/2）=2x>x”其实是重大错误！建立在此定论之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。

②Z各元与D各元一一对应≠2D各元与D各元一一对应，数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。

注！Z内的一个个2x(无穷集Z也是由一个个元素组成的)由小到大地先后与D的各元x一一对应成双配对，一直到2x=2与x=1配成一对后，Z内就再也无多余的数与（1，2] 的各元x相配对了。Z的各元2x全都有“对象”x ∈ D了，从而全都不能与（1，2] 的各元x“搞对象”。否定此理者暴露其根本不懂“一一对应”概念。

设（0，b）=H包含了数学所需用的一切小正数。将H各元x一个不漏地均由x扩大(变换)为100…0x=y，组成新的正数集Q，这Q显然不能与H一样一个不漏地包含数学所需用的一切小正数。不能头脑简单地断定Q=（0，100…0b）。道理很简单：一切小正数一个不漏地全都由小变大地扩大许多倍组成的数集（其各元相比下均距0极远）再也不能一个不漏地包含一切小正数了。“无最小元素”的无穷集H的各元x均由x扩大为x + 0.1所形成的新的无穷集不能包含原无穷集的全部元素。凡违反最起码常识的理论必是自相矛盾的重大错误。

总之，一数集各元一个不漏地全都变大后形成的新的数集不能包含原数集的全部元素。否则，何来“全都变大”？

除了自欺欺人者，谁也不否认一目了然的事实C：一由非负数组成的非负数集内各正数x一个不漏地全都变大（小）为kx（正数k>或<1）后形成的新非负数集不能包含原集的全部元素，从而使新集绝≠原集。（0，2]与[0，2]的区别只是，后数集是由前集加多一个元素0而成的。所以一眼看出两集的各正数元x均变大为1.1x后形成的新集都不能包含原集的全部元素。一非负数集A各元x都由x变换为y = g（x）（相应的变量y是增函数）从而形成以y为元素的新的非负数集B，据特点T及性质S显然当且仅当每次变换都＝无变换即总有y = g（x）=x时，才有A＝B。

两变量x与增函数y（x）若（在整个变化过程中）总近似相等（例如x与1.0001x），则其变域必近似相等，若总相等，才能有其变域相等。说y =2x>x>0中的x与y都可一个不漏地代表（取）一切正数显然就是说有正数y>一切正数及有正数x<一切正数——重大病句！　　

x轴的各个点x均由x变换为点y=y（x）（相应的y是增函数）就形成与x轴垂直的以点y（x）为元素的y（x）轴，2轴以原点y(x)=x=0为轴旋转后重叠在一起且两数轴的正方向相同，y（x）轴的生成过程表明在x轴内：点x>0与0之间相隔多少个点，在y（x）轴内：点y（x）>0与0之间也相隔多少个点，若2轴是某种意义上的同一点集，则显然只能总有x=y (x)。x轴的线段[0，1]=e的各个点x均变换为点y=y（x）=2x就形成y（x）轴的子点集[0，2]=r～e，此线段显然不可（经旋转后）等同于x轴的线段[0，2]，虽然2者的长度相同，因为不能总有x=y（x），以及两点集不对等（参见上文）。关键是如[1]及[2]所述“点（位置）”有大小且有大点与小点之分，且数轴的各个点远不可与各实数一一对应，点集线段[a，b]与数集[a，b]有重大区别。

三、[0，2]内50％的数x都无对应数x/2

D仅占2D的50％，Z只能与D对等表明由2D内全部B数组成的Z也仅占2D的50％。所以2D内只有50％是B数，其余50％都不是B数而是非同一般的“特异”数x≠2（x/ 2）无对应数x/ 2，其都不可2倍于任何别的正数！正如1，2，3，4，5，……中形如2n（n=1，2，3，…）的数才可2倍于别的自然数，而其余的数都不可2倍于任何别的自然数一样。可见，D中有Z所不具备的数，详论见[1]-[7]。

定义域为D的f(x)的值域Z＝[0，2]B数）才是正确的，去掉“B数）”就是中学数学的重大错误：将2D的真子集Z误为全体，从而使康脱推出“数学可不受最起码语文、科学常识：部分<全体的束缚”的“革命发现”。这使数学有方向、路线错误！

有人说应具体情况具体分析地将Z与2D的不对等，正确地理解为对等。即使此典型的思想混乱的“高深”理论获得公认，那也可据上述性质S证明Z≠2D。关键是2x是x的增函数，若Z与2D是同一数集，则Z内从0到2的各数y与2D内从0到2的各数x一一对应相等。

可见（2）式表示2x可一个不漏地遍取2D内一切形如2x的数而不是可遍取…；2x的变域可表为[0，2]2x）。

（2）式中的2x＝y 能遍取定义域D内一切数吗？即Z能包含D的一切x吗？这须研究 （3）式

0 ≤2x = y ≤1（x被限制0 ≤x ≤1/2）

是否表示2x的值域Z′= D。Z′的各元y＝2x是由D的子集[0，1/2] 的各元x均由x变换为2x＝y而来的，故Z′各元不可与D各元一一对应，使Z′= D的必要条件也不具备，故Z′≠D。2x只能遍取D内一切形如2x的数。

（3）式表示2x可遍取D内一切形如2x的数而不是可遍取…；2x的变域可表为[0，1]2x）。

据改写历史的事实C，将（2）中的2x变换为kx（k>1）都不能表示kx的变域是[0，k] ，kx只能遍取[0，k]内一切形如kx的数。同据C，x≥0的变域与相应的100…0x≥0的变域差别重大根本不相等！

推论：从西方传进来的数学中，用而不知的深潜“地下”几千年的地下数远远多于已知数。对正数的认识的极惊人浅薄必使人无法认识沿X轴运动的质点是如何由x>0处动至原点处的。不能真正用数表达运动的相关学科还处于与中医等一样的不知其所以然的唯象论阶段。

参考文献

[1]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[ 2 ]黄小宁  极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报·教研版（N）2002.11.22，4版。

[3]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7

[4 ]黄小宁  数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。

[5]黄小宁  y =10¹⁰x< 10¹⁰且>0的值域显然≠（0，10¹⁰）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。

[6][7]黄小宁  “任何正数x=2·x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。

[8]黄小宁  y=10¹⁰ x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。

电子信箱:[e-mail]（hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007-3-13。更新于2007-3-15。修订于2007-4-5。再修订于2007-5-27—30。再再修订于2007-8-25。