0-1背包问题——动态规划法

问题描述：给定n种物品和一背包。物品i的重量是w[i]，其价值为v[i]，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
分析：对于一种物品，要么装入背包，要么不装。所以对于一种物品的装入状态可以取0和1。设物品i的装入状态为xi,xi∈ (0,1)，此问题称为0-1背包问题。
数据：物品个数n=5,物品重量w[5]={2，2，6，5，4},物品价值v[5]={6，3，5，4，6},总重量c=10。背包的最大容量为10，那么在设置数组m大小时，可以设行列值为5和10，那么，对于m(i,j)就表示可选物品为i到n且背包容量为j(总重量)时背包中所放物品的最大价值。看下面这个表格即为动态规划法解0-1背包问题的过程：

表格中灰色的为序号：列的1~5表示5个物品，横向的1~10表示背包的容量，绿色的列表示相对应物品的的重量，浅蓝色的一列表示相对应物品的价值。假设新建一个5*10的数组对应图片中的棕色部分，棕色部分即为求解的过程，具体求解过程如下：
图上所示的求解过程是从下往上求解，也就是说先分析第5个物品，最后分析第一个物品。当背包中为空的时候，考虑第5个物品，当背包容量为1, 2, 3的时候这个背包都是装不下物品5的，因为物品5的重量是4，因此对应的当背包容量为1, 3, 3的时候背包里面东西的价值(棕色表格里面的值)也是为0，当背包容量大于等于4的时候背包可以放下物品5，所以背包里面东西的价值就是6（因为这里先只考虑只有一件物品5的时候），到此只有物品5的情况已经分析完毕；
接下来分析同时拥有物品5和物品4的情况，当背包容量为1, 2, 3的时候，背包里面既放不下4物品也放不下5物品，所以背包里面物品的价值为0，当背包容量大于等于4的时候，至少可以放下物品5了，这个时候就要取舍了，到底是将物品5放进去价值大还是将物品4放进去价值大，当背包容量为4的时候，只能放进去物品5，价值为6，当背包容量为5的时候如果选择房屋物品4，那么剩余的背包容量为0，查找背包重量为0的列（在前面步骤已经填充过的部分，这里只填充了第5行第1列的位置），找这一列的最大值为0，所以选择放物品4的时候背包价值最大为4<不放物品4（剩余背包容量为5，查找背包容量5对应的填充过的部分，其最大值为6）时候的6，所以在背包容量为5的时候的最优值是放物品5而不放物品4，一直分析到背包容量为9的时候当选择放入物品4的时候，剩余背包容量为4，再查找背包容量为4时候已经填充过的部分（即最后一行），可以查得最大值为6，所以这个时候选择放入物品4可以获得的最大价值为10。...
中间的过程都是如此，这里再分析一下最后一个物品的放置，背包容量为2的时候，如果放入物品1，获得的价值为6，剩余背包容量为0，剩余背包容量获得的最大价值为0，所以6+0=6为最大价值，如果不放入1物品，剩余背包容量为2，剩余背包容量可以获得的最大价值为3，所以最优的时候应该是放入物品1；背包容量为3的时候，若放入1物品，获得价值6，剩余背包容量1可以获得的最大价值为0，所以放入物品1可以获得的最大价值为6，如果不放入物品1，那么剩余背包容量3可以获得的最大价值（在已经填充过的部分查找）为3，所以这时也是放入物品1为最优......当背包容量为8的时候放入物品1获得价值6，剩余背包容量6可以获得最大价值为9，放入物品1的最大价值为6+9=15，如果不放入物品1，剩余背包容量8可以获得的最大价值为9，所以此时也是放入物品1最优。

总结：通过上面的分析过程，可以归结为：先考虑这个物品放入的时候可以获得的最大价值（这个物品的价值+剩余背包(背包总容量-该物品重量)容量可以获得的最大价值），再考虑不放入这个物品的时候可以获得的最大价值（剩余背包容量(此时就是背包总重量)可以获得的最大价值），然后将2者进行比较，那种结果的价值大就将哪种结果的价值保存下来，依次类推。

#include<stdio.h>  const int c = 10;             //背包的容量  const int w[] = {2,2,6,5,4};//物品的重量 const int v[] = {6,3,5,4,6};//物品对应的待加  const int n = sizeof(w)/sizeof(w[0]) - 1 ; //n为物品的个数   int x[n];  void package0_1(int m[][10],const int w[],const int v[],const int n)//n代表物品的个数   {      int i, j;/*********************************最后一个物品单独放置*********************************/      for(j = 1; j <= c; j++)  {       if(j < w[n]) /*背包容量<最后一个物品的重量时*/   m[n][j-1] = 0;          else /*背包能够放下最后一个物品时*/           m[n][j-1] = v[n];  }         /*********************************放置前n-1个物品*********************************/      for(i = n-1; i >= 0; i--)          for(j = 1; j <= c; j++) {           if(j < w[i])                  m[i][j-1] = m[i+1][j-1];//如果j < w[i]则，当前位置就不能放置，它等于上一个位置的值            else //否则，就比较到底是放置之后的值大，还是不放置的值大，选择其中较大者   m[i][j-1] = m[i+1][j-1] > m[i+1][j-1-w[i]]+v[i] ? m[i+1][j-1] : m[i+1][j-1-w[i]]+v[i];}}  void answer(int m[][10],const int n)  {      int j = c-1; /*i = 0, j= c-1坐标上存放着背包容量为c时的最大价值*/     int i;     for(i = 0; i < n; i++)          if(m[i][j] == m[i+1][j]) x[i] = 0;          else                {   x[i] = 1;  /*如果当前物品放入了背包*/j = j - w[i];  /*重新计算背包剩余容量，以计算在取最优时其他物品的取舍情况*/        }i -= 1;    x[n] = m[i][j] ? 1 : 0;   }  int main()  {   int m[6][10]={0};  int i, j;    package0_1(m,w,v,n);   for(i = 0; i <= 4; i++)   {       for(j = 0; j < 10; j++)       printf("%3d ",m[i][j]);       printf("\n"); }    answer(m,n);   printf("The best answer is:\n");   for(i = 0; i < 5; i++)  printf("%d ",  x[i]);  printf("\n"); return 0;  }  

程序运行结果如下：