动态规划法(四)——0/1背包问题

问题描述

有n个物体，重量分别是w0~wn-1，每个物体放入背包后可获得的收益分别为p0~pn-1，背包载重为M，且所有物体要么放要么不放，不能只放一部分。求如何放物体可以得到最高的收益。

问题分析

设f(i,m)表示第i步背包的总收益，其中i表示当前进行到了第i步，m为当前背包载重，则当前第i步只有两种选择：

1. 将第i个物体放入背包
   此时背包总收益就变成f(i-1,m-wi)+wi。

2. 第i个物体不放入背包
   此时背包总收益就是f(i-1,m)。

第i步究竟怎么选择，知道就取决于这两种选择那个结果更大。因此要分别计算者两种情况的值，选较大者作为第i步的结果。
这就是一个典型x的递归。

代码实现

// 表示每一个物体是否放入背包boolean[] isAdd = new boolean[n];// 存储每个物体的重量int[] weight = new int[n];// 存储每个物体的收益int[] p = new int[n];/** * 0/1背包问题的递归函数 * @param i : 当前是第几步 * @param m : 当前背包载重 * @return 最大收益 */int knap( int i, int m ){    if ( i==-1 ) return 0;    if ( weight[i]>m )        return knap( i-1, m );    int a = knap(i-1,m);    int b = knap(i-1,m-weight[i])+p[i];    if ( a>b )        return a;    else{        isAdd[i] = true;        return b;    }}