动态规划法—0-1背包问题(二)

问题的描述

　　假如我们用C表示最大价值，那么C[n，W]就表示n个物品，在背包容量为W时，背包的最大价值。
在求这个最大价值之前，我们可能会考虑某一子问题的最大价值，用C[i,w]表示，意思是该子问题中，有i个物品，背包的最大容量为w时的最大价值。

三种情况

• 情况1：假如这个子问题中，i=0或w=0，那么c[i,w]=0。
• 情况2：假如在该子问题中，在i个物品当中，有的物品根本就装不进背包（该物品的wi>w），那么根本就谈不到它在背包价值大的还是不在背包价值大，所以直接将该子问题转化成c[i-1,w],即有i-1个物品，容量为w时的最大价值。（注:wi中的角标i和i是含义上是不一样的，教材上在程序实现过程中会把这两个i当成一样的）
• 情况3：假如在这个子问题中，在i个物品当中，有几个物品是能够装入背包的，但是不知道它该不该在背包里。那么对于这种情况就运用上一篇文章写的动态规划方法来解决。（所以我们总是在几个可选项中，决定谁应该选中的情况下，使用动态规划方法）。
  按照上篇文章所说，对于情况3，我们先拿出任意一个可选物品考虑它在不在背包里面。
  在背包里的总价值：c[i-1,w-wi]+vi
  不在背包里的总价值：c[i-1,w]
  i-1表示可选物品中，剩下的待考虑的物品个数。

动态规划法的实施

　　现在，结合具体问题来说明。

物品编号 1 2 3 4 5 重量 3 4 7 8 9 价值 4 5 10 11 13

　　举个例子说明。现在背包容量为4,所以要求的问题就是c[5,4]，现在我假如要考虑物品4是不是进背包，发现w4>4,属于第二种情况，所以我们求解的问题转化成c[5-1,4]（c[4,4]）的问题，这里可以看出来，i和wi是不一样的。我们书上一样是因为，每次都按5,4,3,2,1的顺序考虑。接着我们考虑物品5，那么w5>w,所以问题由刚才的c[4,4]变成了c[4-1,4]的问题（c[3,4])。同理，当你考虑物品3的时候，也是这样。
　　更直接地说，因为当背包容量为5时，因为就两个可选的物品，物品1和物品2，所以我们要求解的问题c[5,4]就可以转化成c第三种情况的[2,4]的问题，这时如果我们先考虑１在不在背包里，就是c[2-1,4-3]+4和c[2-1,4]即c[1,1]+4和c[1,4]。然后在分别对两种情况下的子问题，考虑物品２在背包里。对于c[1,1]这个子问题，物品4放不进去，该子问题就转换成c[0,1]这个子问题，这个子问题可以直接算出解为0；对于c[1,4]这个子问题，物品２在不在背包里面就是c[0,0]+5和c[0,4]。
c[5,4]->c[4,4]->c[3,4]->c[2,4]->Max(c[1,1]+4,c[1,4])

　　按上述顺序求解，如图所示：

　　现在来解决背包容量为17的问题，从背包容量为0的时候开始考虑。见下面４张表：

表1表示在背包容量为某个值时，可选项和不可选项。

表2表示按物品单位价值比由高到低的顺序考虑问题的最优解。

表3表示按物品重量由大到小的顺序考虑。

表4表示按物品单位价值比由低到高的顺序考虑。

总结

　　在上述问题中，我们可以发现，当背包容量为0时，问题属于情况1；容量为1-8时，问题最初属于情况2；容量为9-17时，问题最初属于情况3。而且，通过三个表格的对比，我们发现问题的最优解和我们按何种顺序考虑是没有关系的，最终求得的最优解和最大价值都是一样的。