树状数组

来源：互联网发布：自行车知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/16 23:41

题目链接

树状数组推荐看训练指南的说明，90%能看懂。不能看懂再往下看。

求a1,a2...an的和，下面看 CS 97SI: Introduction to Competitive Programming Contests 的PPT里的图片。

思想直接看原文：

Each internal node stores the sum of values of its children
– e.g., Red node stores item[5] + item[6]

Main idea: choose the minimal set of nodes whose sum gives the desired value

I We will see that
– at most 1 node is chosen at each level so that the total number of nodes we look at is log 2 n
– and this can be done in O(logn) time

计算方法

//版本2

树状数组是对数组元素修改和查询都是O(logn)的结构，主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，可参考百度

最基本的是在有修改元素的情况下求区间内元素和

int lowbit(int t){    return t&(-t);}

lowbit(i)：将i转化成二进制数之后，只保留最低位的1及其后面的0，截断前面的内容，然后再转成10进制数

X^：X取反（符号我这里定的，不是什么官方符号）

lowbit(x)实际上是提取x从左往右数的最后一个1。
设x为a1b，a1b中的1位最后一个1，a和b都表示一串01串（当然b全为0或者不存在），如13=1101则a=110,b不存在。
对一个数x取负相当于该数的二进制取反再加1，所以-x = (a^- 1^ b^) = (a^ 0 1...1) +1 = (a^ 1 0...0)。
则 x & (-x) = (a 1 00...) & (a^ 1 00...) = (0...0 1 0...0)。结果就是保留最后个1和后面的0的十进制答案。

如

10进制值二进制值lowbit()值210231114100451011
那么 i + lowbit( i ) 可以求出父节点的下标

把子树向右对称翻得出一些空白结点，树变成完全二叉树，看图可知父节点下标和空白结点下标相同

i lowbit(i) i+lowbit(i) 224314448516

像 i == 5时，父节点下标是6，表示c[5]在c[6]管辖下，c[6]还管了个A[6]，c[6] = c[5] + a[6]

void add(int i,int num){    while(i <= n)    {        c[i] += num;        i += lowbit(i);    }}

给a[ i ]加值，则要把c[ i ] 和管理c[ i ]的那些 c[ x ] 也加上相同的值，如给1 号元素加1，则要把c[1],c[2],c[4],c[8]都加1。add()代码中 i += lowbit(I)就是父节点下标

那么减值就是参数为负数就行

int getSum(int i){    int sum = 0;    while(i > 0)    {        sum += c[i];        i -= lowbit(i);    }    return sum;}

i - lowbit( i ) 求出跟另一个c[ x ] ，c[ x ] 管理了小于 i 的 a [ i ] 中，c[ i ] 所没有管理到的 a[ i ]，那么把c [ i ] 和 c [ x ]加起来就是A[1]...A[ i ]的和

i12345678i - lowbit(i)00204460如求a[1] ... a[6],那么求c[6] + c[ 6-lowbit(6) ]即 c[6] + c[4]即可

还不过瘾就看看http://www.hawstein.com/posts/binary-indexed-trees.html吧，是Topcoder文章的翻译

这种直接插入求和，修改值的函数（这里的add() ）的循环是从下往上，而求和函数是从上往下，所以也被归类为 向上查询，向下求和的类型

下面来道向下查询，向上求和的题目

HDU 1556 Color the ball

题目很好理解，代码实现不需要a数组。但add()一改就是改一串相关联的，那么要改区间[a,b]元素的值，可以这样：把[1,b]元素值+1，再把[1,a-1]值-1，抵消后就是把[a,b]的元素值+1，因为改的是小于等于 i 的部分值，所以是向下查询

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cstdlib>#define FOR(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define ll __int64#define NMAX 100001using namespace std;int c[NMAX],n;int lowbit(int t){    return t&(-t);}void add(int i,int num){    while(i > 0)    {        c[i] += num;        i -= lowbit(i);    }}int getSum(int i){    int sum = 0;    while(i <= n)    {        sum += c[i];        i += lowbit(i);    }    return sum;}int main(){  //  freopen("in.txt","r",stdin);    int a,b;    while(scanf("%d",&n)!=EOF,n)    {        memset(c,0,sizeof(c));        for(int i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d%d",&a,&b);            add(b,1);            add(a-1,-1);        }        printf("%d", getSum(1));        for(int i=2;i<=n;i++)        {             printf(" %d",getSum(i));        }        printf("\n");    }    return 0;}

HDU 1166 敌兵布阵此题还有线段树解法

#include <cstdio>#include <cstring>#define INF 0x7FFFFFFF#define FOR( i , a , b ) for ( int i = a ; i <= b ; ++ i )#define CLR( a , x ) memset ( a , x , sizeof (a) )#define RE freopen("1.in","r",stdin)#define LL(i) (i<<1)#define RR(i) (i<<1|1)#define MAX 50010int ans;int a[MAX];int lowbit(int x){    return x&(-x);}int sum(int i){    int ans = 0;    while(i > 0)    {        ans += a[i];        i -= lowbit(i);    }    return ans;}void add(int i,int num){    while(i <= MAX)    {        a[i] += num;        i += lowbit(i);    }}int main(){    RE;    int n,m,l,r,t,x;    char cmd[10];    scanf("%d",&t);    FOR(tt,1,t)    {        CLR(a,0);        printf("Case %d:\n",tt);        scanf("%d",&n);        FOR(i,1,n)        {            scanf("%d",&x);            add(i,x);        }        getchar();        while(scanf("%s",cmd),cmd[0]!='E')        {            switch(cmd[0])            {                case 'Q':                        scanf("%d%d",&l,&r);                        ans = sum(r) - sum(l-1);                        printf("%d\n",ans);                        break;                case 'A':                        scanf("%d%d",&l,&r);                        add(l,r);                        break;                case 'S':                        scanf("%d%d",&l,&r);                        add(l,-r);                        break;            }        }    }return 0;}

0 0