算法基础-动态规划 (1) 01背包问题

最近闲的无聊，算法一直是弱项，正好hihocoder上面开始了每周的比赛，

这周的题目是01背包问题。正好归纳和总结一下。

所有的动态规划问题都两个特点：

1、重复子问题：一个问题可以转化成几个同类型的子问题。

2、后无关性：前一个问题产生的决策和结果，对下一个问题没有影响。

说白了，就是你能吧问题写成简单的数学递归表达式：

对于01背包问题，建模很关键，

这里面有几个关键量 

物品个数N

能容纳的重量M

每个物品的价值V（i）

每个物品的重量w（i）

我们要想好这个数学表达式

对于每个物品而言，有两种状态，被选上和不被选上， 即0和1状态。而对整个背包而言  能够承受的重量就是里面物品的加和，同样价值一样也是加和。

我们希望背包尽可能装得多，而且产生的价值最大，（最重要的的是总价值最高）

所以整个表达式应该以价值作为衡量因素。

下面是表达式：

N个物品，背包有M重量空余，等于在前N-1选择最大的，一种是不选择第N-1个物品，另一种是选择第N-1个物品，并占据了背包Wn的重量，但提供了Vn的价值。

下面是三种代码形式，孰优孰劣，大家一眼就能开出来。

public int getcurrentVlue(int i,int j){if(i==0){if(j>=0) return 0;}if(j<0) return Integer.MIN_VALUE;return max (getcurrentVlue(i-1, j),getcurrentVlue(i-1, j-w[i-1])+v[i-1]);}

public int getvalue(int sum,int wei){int[] [] value =new int [sum][wei];for(int i=1;i<sum;i++){for(int j=0;j<wei;j++){if(j<w[i-1]) value[i][j] = value[i-1][j];else{value[i][j] = max (value[i-1][j],value[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);}}}return wei;}

public int getvalues(int sum, int wei) {int[] value = new int[wei + 1];for (int i = 1; i < sum + 1; i++) {for (int j = wei; j > w[i - 1] - 1; j--) {value[j] = value[j] > value[j - w[i - 1]] + v[i - 1] ? value[j]: value[j - w[i - 1]] + v[i - 1];}}return value[wei];}

显然第三种效果最好。