错排问题

问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推。递推公式为D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

对递推公式的理解：

我们可以这样理解，对第n个数，如果是n-1个数原本符合要求，那么第n个数和前n-1个数都交换一次即可，这是一种情况。也可以是在前n-1个数中有一个数不是错排的，即对i数的排列还是在第i个位置上，这时只要把i和n交换也满足了条件，这是第二种情况。