计算两个数的最大公约数 gcd(a,b)

求两个数a和b的最大公约数，可以想到的是从[1,min(a,b)]枚举每个正整数：

#include<iostream>using namespace std;int gcd(int a,int b){int ans=1;for(int i=2;i<=min(a,b);++i){if(a%i==0 && b%i==0)ans=i;}return ans;}int main(){int a,b;cin>>a>>b;cout<<gcd(a,b);return 0;}

不过当a和b规模比较大时，这种算法是不够快的。有更快更优雅的算法。

 

• 首先给出一个定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a-b)  (a>=b)

证明：

设gcd(a,b)=m (m>=1)

则a%m=0,b%m=0

(a%m-b%m)%m=0

(a-b)%m=0

因为a%m=0,b%m=0,(a-b)%m=0,gcd(a,b)=m

所以gcd(a,b,a-b)=m;

下面证明gcd(b,a-b)=m，然后可以得到gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。

设c=a-b

因为gcd(a,b,c)=m;

所以gcd(b,c)!=m的充要条件是存在一个数d (d>=1)使得(b/m)%d=0且(c/m)%d=0且(a/m)%d!=0。

下面用反证法：

设存在这样的d

(c/m)%d=0

((a-b)/m)%d=0

((a/m)-(b/m))%d=0

((a/m)%d-(b/m)%d)%d=0

已知(b/m)%d=0，代入得((a/m)%d)%d=0

又已知(a/m)%d!=0，所以(a/m)%d的结果属于(0,d)

而x属于(0,d)，x%d不可能等于0，因此矛盾。

所以不存在这样的d

所以gcd(b,a-b)=gcd(b,c)=m

gcd(a,b)=gcd(b,a-b) (a>=b) 该定理证明完毕

于是就可以用这个算法来计算，其中gcd(a,0)=a：

#include<iostream>using namespace std;int gcd(int a,int b){if(b==0)return a;if(a<b)swap(a,b);return gcd(b,a-b);}int main(){int a,b;cin>>a>>b;if(a<b)swap(a,b);cout<<gcd(a,b);return 0;}

当然数据规模大的时候栈可能会溢出，所以改成非递归即可。

还可以更快？（感谢一位同学的证明）

• 再给出第二个定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a-k*b) 其中k=0,1,2,3,4...且a>=k*b

这个定理证明同上

• 经化简可得下面这个定理：

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

这就是辗转相除法（欧几里得算法）。

#include<iostream>using namespace std;int gcd(int a,int b){if(b==0)return a;return gcd(b,a%b);}int main(){int a,b;cin>>a>>b;cout<<gcd(a,b);return 0;}