POJ 2976 Dropping tests & 分数规划讲解



http://poj.org/problem?id=2976

题目要去掉一些的a[i],b[i]对，使得sigma(a[i])/sigma(b[i])最大。是一个典型的分数规划问题。

01分数规划问题：

所谓的01分数规划问题就是指这样的一类问题，给定两个数组，a[i]表示选取i的收益，b[i]表示选取i的代价。如果选取i，定义x[i]=1否则x[i]=0。每一个物品只有选或者不选两种方案，求一个选择方案使得R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])取得最值，即所有选择物品的总收益/总代价的值最大或是最小。

分析过程：

数学分析中一个很重要的方法就是分析目标式，这样我们来看目标式：R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])。

先定义一个函数F(L):=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])，显然这只是对目标式的一个简单的变形。分离参数，得到F(L):=sigma((a[i]-L*b[i])*x[i])。这时我们就会发现，如果L已知的话，a[i]-L*b[i]就是已知的，当然x[i]是未知的。记d[i]=a[i]-L*b[i]，那么F(L):=sigma(d[i]*x[i])。这个函数与目标式的关系非常的密切，L就是目标式中的R，最大化R也就是最大化L。F的值是由两个变量共同决定的，即方案X和参数L。对于一个确定的参数L来说，方案的不同会导致对应的F值的不同。假设已知在存在一个方案X使得F(L)>0即F(L)=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])>0即sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])>L也就是说，如果一个方案使得F(L)>0说明了这组方案可以得到一个比现在的L更优的一个L，既然有一个更优的解。显然，d数组是随着L的增大而单调减的。也就是说，存在一个临界的L使得不存在一种方案，能够使F(L)>0. 我们猜想，这个时候的L就是我们要求的最优解。之后更大的L值则会造成无论任何一种方案，都会使F(L)<0.类似于上面的那个变形，F(L)<0是没有意义的，因为这时候的L是不能够被取得的。当F(L)=0使，对应方案的R值恰好等于此时的L值。 综上，函数F(L)有这样的一个性质：在前一段L中可以找到一组对应的X使得F(L)>0，这就提供了一种证据，即有一个比现在的L更优的解，而在某个L值使，存在一组解使得F(L)=0,且其他的F(L)<0，这时的L无法继续增大，即这个L就是我们期望的最优解，之后的L会使得无论哪种方案都会造成F(L)<0.而我们已经知道，F(L)<0是没有任何意义的，因为此时的L值根本取不到。 

采用方法：

根据这样的一段性质，很自然的就可以想到二分L值，然后验证是否存在一组解使得F(L)>0，有就移动下界，没有就移动上界。所有的01分数规划都可以这么做，唯一的区别就在于求解时的不同——因为每一道题的限制条件不同，并不是每一个解都是可行解的。比如在普通的数组中，你可以选取1、2、3号元素，但在生成树问题中，假设1、2、3号元素恰好构成了一个环，那就不能够同时选择了，这就是需要具体问题，具体分析的部分。

注意：

分数规划的二分搜索和普通的二分搜索有一定的区别，详见代码中的注释。

AC_CODE:

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;struct node{    double a,b,x;}in[1010];bool cmp(const node &A, const node &B){    return A.x > B.x;}int main(){//    freopen("in.txt", "r", stdin);    int n,k;    while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF){        if(!n && !k)    break;        for(int i=0; i<n; i++)  scanf("%lf",&in[i].a);        for(int i=0; i<n; i++)  scanf("%lf",&in[i].b);        double left = 0, right = 100, mid;        while(right - left > 1e-4){//由于左右边界是浮点型，所以将所要求的精度作为循环结束的条件            mid = (left + right) / 2;            double sum = 0;            for(int i=0; i<n; i++)                in[i].x = 100 * in[i].a - mid * in[i].b;            sort(in, in+n, cmp);            for(int i=0; i<n-k; i++)                sum += in[i].x;            if(sum > 0){//不能写left = mid + 1的原因是left是浮点型数据，让mid+0.99情何以堪呢^^.                left = mid;            }            else                right = mid;        }        printf("%.0lf\n",mid);    }    return 0;}