关于01背包的问题

01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。

问题描述

求出获得最大价值的方案。

注意：在本题中，所有的体积值均为整数。

算法分析

对于背包问题，通常的处理方法是搜索。

用递归来完成搜索，算法设计如下：

function Make( i {处理到第i件物品} , j{剩余的空间为j}:integer) :integer;

初始时i=m , j=背包总容量

begin

if i=0 then

Make:=0;

if j>=wi then 　(背包剩余空间可以放下物品 i )

r1:=Make(i-1,j-wi)+v; 　(第i件物品放入所能得到的价值 )

r2:=Make(i-1,j)　 　(第i件物品不放所能得到的价值 )

Make:=max{r1,r2}

end;

这个算法的时间复杂度是O(2^n)，我们可以做一些简单的优化。

由于本题中的所有物品的体积均为整数，经过几次的选择后背包的剩余空间可能会相等，在搜索中会重复计算这些结点，所以，如果我们把搜索过程中计算过的结点的值记录下来，以保证不重复计算的话，速度就会提高很多。这是简单的“以空间换时间”。

我们发现，由于这些计算过程中会出现重叠的结点，符合动态规划中子问题重叠的性质。

同时，可以看出如果通过第N次选择得到的是一个最优解的话，那么第N-1次选择的结果一定也是一个最优解。这符合动态规划中最优子问题的性质。

解决方案

考虑用动态规划的方法来解决，这里的：

阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中；

状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；

决策是：第N件物品放或者不放；

由此可以写出动态转移方程：

我们用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值

f[i,j]=max{f[i-1,j-Wi]+Pi (j>=Wi), f[i-1,j]}

[1]这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。

这样，我们可以自底向上地得出在前M件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是f[m,w]

算法设计如下：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int w[10001],f[10001],p[10001];int main(){    int i,j,k,n,m,max;    scanf("%d%d",&n,&m);    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);    for(i=1;i<=n;i++)      for(j=m;j>=0;j--)        if(j>=w[i])          if(f[j]<f[j-w[i]]+p[i])            f[j]=f[j-w[i]]+p[i];    max=0;    for(i=1;i<=m;i++)      if(f[i]>max) max=f[i];    printf("%d\n",max);    system("pause");}

如此便可解决01背包问题