背包问题的动态规划解法

　　这个问题有两种解法，动态规划和贪婪算法。本文主要讨论动态规划的方法。动态规划问题的最主要也是最关键的步骤在于寻找状态转移方程。

　   先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

　　表达式中各个符号的具体含义。

　　w[i] :  第i个物体的重量；

　　p[i] : 第i个物体的价值；

　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；

　　由此可得：

　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下图将给出更具体的解释）

 

 

　　　　根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自互联网，当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

　　　　

　　　　思路厘清后，开始编程序，C语言代码如下所示。

#include <stdio.h>int c[10][100]={0};void knap(int m,int n){    int i,j,w[10],p[10];    for(j=0;j<m+1;j++)        for(i=0;i<n+1;i++)    {        if(j<w[i])        {            c[i][j]=c[i-1][j];            continue;        }else if(c[i-1][j-w[i]]+p[i]>c[i-1][j])            c[i][j]=c[i-1][j-w[i]]+p[i];        else            c[i][j]=c[i-1][j];    }    }