0-1背包问题的动态规划解法
来源:互联网 发布:电力综合数据网 编辑:程序博客网 时间:2024/06/12 19:57
0-1背包问题:给定n种物品和一个背包,物品i的重量为w[i],其价值为v[i],背包的容量为c,应该如何选装入背包中的物品,使得背包中物品的总容量最大?
最优子结构性质:
设(x[1],x[2],...x[i])是背包容量为C时的最优解,则(x[1],x[2],...,x[i-1])是背包容量为C-x[i]w[i]的最优解。
如果不是,则假设(y[1],y[2],y[i-1])是背包容量为C-x[i]w[i[的最优解
=>y[1]v[1]+y[2]v[2]+...+y[i-1]v[i-1] >= x[1]v[1]+x[2]v[2]+...+x[i-1]v[i-1];(y[1]w[1]+y[2]w[2]+...+y[i-1]w[i-1]<=C-x[i]w[i])
=>y[1]v[1]+y[2]v[2]+...+y[i-1]v[i-1]+x[i]v[i]>=x[1]v[1]+x[2]v[2]+...+x[i-1]v[i-1]+x[i]y[i] 且y[1]w[1]+y[2]w[2]+...+x[i]w[i]+x[i]w[i]<=C
=>(y[1],y[2],...y[i-1],x[i])是原问题的最优解,与假设矛盾。
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