树状数组

来源：互联网发布：js 数组 json 编辑：程序博客网时间：2024/04/30 02:26

树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。
来观察这个图：

树状数组的结构图
令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
这里有一个有趣的性质：
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

(1) 算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x){    return x&(x^(x–1));}

利用机器补码特性，也可以写成：

int lowbit(int x){    return x&(-x);}

求出来 2^k 之后，数组 c 的值就都出来了，接下来我们要求数组中所有元素的和。

(2) 当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：
step1: 令sum = 0，转第二步；
step2: 假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。
可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？

证明：
n = n – lowbit(n)这一步，实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

代码实现：

int Sum(int n){    int sum = 0;    while(n>0){        sum += C[n];        n -= lowbit(n);    }    return sum;}

(3) 修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当 i<=n 时，执行下一步；否则的话，算法结束;
step2: ci=ci+x ，i=i+lowbit（i）（在 i 的二进制表示的最后加零），返回第一步。

注: i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

代码实现：

void change(int i, int x){    while(i<=n){        C[i] += x;        i += lowbit(i);    }}

（以下文字出自吴豪文章《树状数组》：）
世界上没有免费的午餐，你喜欢上树状数组，你就一定要承受它的缺点，不过有一点我还没有绝对地搞清楚，有人说树状数组可以解“最长不下降子序列”问题，但这个应该会涉及到求某一个区间范围内最值。但是貌似树状数组要符合减法原则，也就是说不能求某一个区间范围内最值。初步来讲，我认为“树状数组解最长不下降子序列”和“减法原则”可能并不矛盾，可能有一种符合“减法原则”解法，我不做深入讨论探究了。
下面引用一段话：
在很多的情况下,线段树都可以用树状数组实现.凡是能用树状数组的一定能用线段树。当题目不满足减法原则的时候,就只能用线段树,不能用树状数组.例如数列操作如果让我们求出一段数字中最大或者最小的数字,就不能用树状数组了。
除了上面的“减法原则”之外，还需要说明的是：树状数组由 1 开始。习惯用 C/C++的同志们申请地址的时候必须从 0 开始，自然而然地，我们习惯了第一个元素是 0，但是树状数组必须由 1 开始。具体细节想一下就会知道，那是因为跟那个“将 k 化为二进制数时末尾 0 的个数”有关。

参考资料：

1. http://baike.baidu.com/view/1420784.htm?fr=aladdin

2. http://www.cnblogs.com/zhangshu/archive/2011/08/16/2141396.html

3. http://dongxicheng.org/structure/binary_indexed_tree/

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