割耳法(几何)

E - 割耳法

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Description

割耳法可以把一个多边形切成三角形：每次沿着某条对角线切下来一个三角形（称为“耳朵”），n-3次就能把一个n边形切成一个三角形。如下图，三角形{2,3,4}被割掉了。

输入一个多边形，怎样做才能让每次切割痕迹的总长度最小？

Input

输入最多包含30组测试数据。每组数据第一行为多边形的顶点数n(4<=n<=100)。以下n行描述多边形的各个顶点坐标（均为绝对值不超过10000的整数），按照逆时针或者顺时针排列。

Output

对于每组数据，输出切割痕迹总长度的最小值，保留4位小数。

Sample Input

4
0 0
3 0
1 1
0 3
4
0 0
10 0
10 1
0 1 

Sample Output

Case 1: 1.4142
Case 2: 10.0499 

题意，就是将一个有n条边的多边形切n-3次，使其每部分都变成三角形。问怎样使切割总长度最小。

多边形各顶点都是按一定顺序给出的(逆时针或者顺时针)所以不必再进行极角排序。然后从任意点(这里是倒数第二个点)出发到其他与他不相邻的点进行DP。求i点到j点的最小距离，相邻两点距离可以用0表示，而图形中有不可切割的的两点距离就为INF值。

我们需要考虑什么情况下两点之间不可切割：

1、多边形的有其他顶点在ij这条切割线上。(这里模板:判断点是否在线段上)

2、多边形其他线段与ij这条切割线相交。(这里是模板:判断线段是否相交)

3、ij这条切割线不在多边形内。(这里套用了模板:判断点是否在多边形内)这个点取ij切割线的中点进行判断。

最后我们枚举完每一点到其他点最短距离之后。回到第一个点到最后一点的距离还要减去他们之间的距离。因为之前的计算已经把两者直接距离计算进去，而这个距离是不需要切割的距离，所以减去之后即题目要求的答案。

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<functional>#define eps 1e-9#include<vector>const double INF=1e9;using namespace std;double d[200][200];const double PI = acos(-1.0);int dcmp( double x ){ if( abs(x) < eps ) return 0;else return x < 0?-1:1; }struct point{    double x,y;    point( double x = 0,double y = 0 ):x(x),y(y){}}node[112]; typedef point Vector;struct segment{    point a,b;  segment(){}    segment(point _a,point _b){a=_a,b=_b;}};struct circle{    point c; double r;  circle(){}    circle(point _c, double _r):c(_c),r(_r) {}    point  PPP(double a)const{return point(c.x+cos(a)*r,c.y+sin(a)*r);}};struct line{    point p,v; double ang;    line() {}    line( const point &_p, const point &_v):p(_p),v(_v){ang = atan2(v.y, v.x);}    inline bool operator < (const line &L)const{return  ang < L.ang;}};point operator + (point a,point b){return point( a.x + b.x,a.y + b.y );}point operator - (point a,point b){return point( a.x - b.x,a.y - b.y );}point operator * (point a,double b){return point( a.x*b,a.y*b );}point operator / (point a,double b){ return point( a.x/b,a.y/b );}bool  operator <  (const point &a, const point &b ){return  a.x <  b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y );}bool  operator == (const point &a, const point &b ){return (dcmp(a.x - b.x) == 0 && dcmp(a.y - b.y) == 0 );}bool  operator != (const point &a,const point &b ){return a == b?false:true;}double Dot( point a,point b ){return a.x*b.x + a.y*b.y;} // 点到点的距离  //点积 ab=|a||b|cos@double Length( point a ){return sqrt( Dot( a,a ) );}    // 向量长度double Angle( point a,point b ){ return acos( Dot(a,b)/Length(a)/Length(b) );} // 两个向量的角度double D_T_D(const double ° ){ return deg/180.0*PI; }// 叉积计算   a*b=|a||b|sin@;double Cross( point a,point b ){    return a.x*b.y - a.y*b.x;}// 线段相交判断 先必须去掉不相交的状态；再判断方向bool SegmentProperIntersection(const point& a1, const point& a2, const point& b1, const point& b2) {  double c1 = Cross(a2-a1,b1-a1), c2 = Cross(a2-a1,b2-a1),  c3 = Cross(b2-b1,a1-b1), c4=Cross(b2-b1,a2-b1);  return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0 && dcmp(c3)*dcmp(c4)<0;}//点pot 是否 在线段 ab 上 只需 叉积等于0  点积等于0bool online(const point a,const point b,const point pot ){    if( Cross( a - pot,b - pot ) == 0 && Dot( a - pot,b - pot ) <= 0 )return 1;    return 0;}//p为点,poly为多边形 点在多边形内判定int isinpoly(const point& p, const vector<point> poly){  int n = poly.size();  int wn = 0;  for(int i = 0; i < n; i++){    const point& p1 = poly[i];    const point& p2 = poly[(i+1)%n];    if(p1 == p || p2 == p || online(p1, p2 ,p)) return -1;     int k = dcmp(Cross(p2-p1, p-p1));    int d1 = dcmp(p1.y - p.y);    int d2 = dcmp(p2.y - p.y);    if(k > 0 && d1 <= 0 && d2 > 0) wn++;    if(k < 0 && d2 <= 0 && d1 > 0) wn--;  }  if (wn != 0) return 1; //内部   return 0; //外部 }bool isDgnal(const vector<point>poly, int a,int b){int i,n=poly.size();for (i=0;i<n;i++)if (i!=a && i!=b && online(poly[a],poly[b],poly[i])) return false;for (i=0;i<n;i++)if (SegmentProperIntersection(poly[i],poly[(i+1)%n],poly[a],poly[b])) return false;point mid=(poly[a]+poly[b])*0.5;return (isinpoly(mid,poly)==1);}double go(const vector<point> poly){int i,j,k,n=poly.size();for (i=0;i<n;i++)for (j=0;j<n;j++)d[i][j]=-1;for (i=n-2;i>=0;i--)for (j=i+1;j<n;j++){double len=Length(poly[i]-poly[j]);if (i+1==j) d[i][j]=0;else if (!(i==0 && j==n-1) && !isDgnal(poly,i,j)) d[i][j]=INF;else{double m=INF;for (k=i+1;k<j;k++)m=min(m,d[i][k]+d[k][j]);d[i][j]=len+m;}}double len0=Length(poly[0]-poly[n-1]);return d[0][n-1]-len0;}int main( ){int n,cas=1;while (~scanf("%d",&n) && n){double x,y;vector <point> poly;for (int i=0;i<n;i++){scanf("%lf%lf",&x,&y);poly.push_back(point(x,y));}printf("Case %d: %.4lf\n",cas++,go(poly));}}