拓扑学学习（一）

内容

        拓扑学的具体用处是什么，我并不是很清楚。在几何的应用领域，我的浅显理解是抽象几何。它的具体用处我现在这里留下问题吧，等学完它的一些性质之后再来作答了。学拓扑学的原因是因为我要理解学习Jonathan Richard Shewchuk的Triangle：分治法中三角形的几何信息和拓扑信息的操作中提到的文献二。所以暂且不管它用处是啥了，先能看懂文献二。

        通过对拓扑学中连续映射的一些性质和命题的证明和推理，能够对拓扑学中的一些基本概念和性质有一个比较好的理解和灵活的运用。

        命题1 设f: X->Y是一映射，A是X的子集，x∈A。记是f在A上的限制，则

        （1）如果f在x连续，则在x也连续；

        （2）若A是x的领域，则当在x连续时，f在x也连续。

        证明 （1）设V是的领域，则是x在X中的领域，即存在开集U，使得。而，这里A∩U是A的包含x的开集。这就验证了在x的连续性。

        （2）设V是f(x)的领域，根据条件存在A中的开集，使得。设，其中U是X的开集。则也是X的开集，且。因此f在x连续。

        对拓扑学的基本概念不太了解的人可能会对这两个证明不是很了解。我现在来推理这两个证明。

        在推理这两个证明之前需要了解连续的定义，领域和开集的概念和包含关系，和子空间的性质。

        连续的定义 设X和Y都是拓扑空间，f: X->Y是一个映射，x∈X。如果对于Y中f(x)的任一邻域V，总是x的领域，则说f在x处连续。

        邻域的定义 设A是拓扑空间X的一个子集，点x∈A。如果存在开集U，使得x∈U⊂A，则称x是A的一个内点，A是x的一个邻域。A的所有内点的集合称为A的内部，记作°A（或A°）。

        °A是包含在A中的所有开集的并集，因此是包含在A中的最大开集。

        很明显，邻域包含开集。

        闭包的定义 设A是拓扑空间X的子集，x∈X。如果x的每个邻域都含有A\{x}中的点，则称x为A的聚点。A的所有聚点的集合称为A的导集，记作A'。称集合为A的闭包。

        是所有包含A的闭集的交集，所以是包含A的最小的闭集。

        子空间的定义 设A是拓扑空间的一个非空子集，规定A的子集族，容易验证是A上的一个拓扑，称为的子空间。

        以后对拓扑空间的子集都将看做拓扑空间，即子空间。

        设X是拓扑空间，C⊂A⊂X，则A与X的一个闭集的交集是A的闭集，A与X的一个开集的交集是A的开集。

        有了这些概念，下面来推理这两个证明。

        推理证明（1），在这个证明中主要要理解的是，首先看A∩U，根据子空间的性质，A∩U是A的开集，又，所以此式成立，即得证。

        推理证明（2），根据条件A是x的邻域，则可知x是A的一个内点，x属于内部°A，因为°A是包含在A内的最大的开集，所以根据拓扑公理三，U∩°A也是X的开集，也即得证。

文献

[1] 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，1997.