硬币组合问题
来源:互联网 发布:java中ll 和 的用法 编辑:程序博客网 时间:2024/09/21 09:28
题设:
假设我们有8种不同面值的硬币{1,2,5,10,20,50,100},用这些硬币组合够成一个给定的数值n。例如n=200,那么一种可能的组合方式为 200 = 3 * 1 + 1*2 + 1*5 + 2*20 + 1 * 50 + 1 * 100。 问总过有多少种可能的组合方式?
思路分析:
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm
...
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm
(V1,V2,...,Vm)代表硬币值,其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。
可以递推出如下公式:
dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm+
dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]
初始值设定:
如果sum=0,那么无论有前多少种来组合0,只有一种可能,就是各个系数都等于0;
dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, ... , m
如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值,所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种硬币要组成sum,我们规定为dp[0][sum] = 0。
代码如下:
/* 2 * Filename :coins.cpp 3 * Description: solve coin combinations using dynamic programing 4 * Complier: g++ 5 * Author: python27 6 */ #include <iostream> #include <string> #include <cmath> #include <vector> using namespace std; /**************************************************************** * coin Combinations: using dynamic programming * * Basic idea: * dp[i][j] = sum(dp[i-1][j-k*coins[i-1]]) for k = 1,2,..., j/coins[i-1] * dp[0][j] = 1 for j = 0, 1, 2, ..., sum * * Input: * coins[] - array store all values of the coins * coinKinds - how many kinds of coins there are * sum - the number you want to construct using coins * * Output: * the number of combinations using coins construct sum * * Usage: * c[3] = {1, 2, 5}; * int result = coinCombinations(c, 3, 10); * ****************************************************************/ int coinCombinations(int coins[], int coinKinds, int sum) { // 2-D array using vector: is equal to: dp[coinKinds+1][sum+1] = {0}; vector<vector<int> > dp(coinKinds + 1); for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i) { dp[i].resize(sum + 1); //reset dp[i] to the size of sum+1 } /* for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i) { for (int j = 0; j <= sum; ++j) { dp[i][j] = 0; } }*/ //init: dp[i][0] = 1; i = 0, 1, 2 ..., coinKinds //Notice: dp[0][0] must be 1, althongh it make no sense that //using 0 kinds of coins construct 0 has one way. but it is the foundation //of iteration. without it everything based on it goes wrong for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i) { dp[i][0] = 1; }for(int j = 1;j <= sum; j++){dp[0][j] = 0;} // iteration: dp[i][j] = sum(dp[i-1][j - k*coins[i-1]]) // k = 0, 1, 2, ... , j / coins[i-1] for (int i = 1; i <= coinKinds; ++i) { for (int j = 1; j <= sum; ++j) { dp[i][j] = 0; for (int k = 0; k <= j / coins[i-1]; ++k) { dp[i][j] += dp[i-1][j - k * coins[i-1]]; } } } return dp[coinKinds][sum]; } int main() { int coins[7] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100}; int sum = 200; int result = coinCombinations(coins, 7, 5); cout << "using 8 kinds of coins construct 200, combinations are: " << endl; cout << result << endl; return 0; }
扩展:
如果要输出所有的可能的组合结果?
0 0
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