硬币组合问题

题目

假设我们有8种不同面值的硬币｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用这些硬币组合够成一个给定的数值n。例如n=200，那么一种可能的组合方式为 200 = 3 * 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 * 50 + 1 * 100. 问总过有多少种可能的组合方式？原题 转载

分析

这道题目是非常经典的动态规划算法题。给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币v1,v2,...,vm，如果要组合成sum，那么我们有
sum=x1∗v1+x2∗v2+...+xm∗vm
求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数x1,x2,...,xm的所有可能个数。

思路1：
用暴力枚举，各个系数可能的取值无非是
x1=0,1,...,sumv1,x2=0,1,...,sumv2
，这对于硬币种类数较小还可以应付。
思路2：
从上面的分析中我们也可以这么考虑，我们希望用m种硬币构成sum，根据最后一个硬币vm的系数的取值为无非有这么几种情况，xm分别取｛0,1,2,...,sumvm｝。即，
sum=x1∗v1+x2∗v2+...+0∗vm
sum=x1∗v1+x2∗v2+...+1∗vm
sum=x1∗v1+x2∗v2+...+2∗vm
…
sum=x1∗v1+x2∗v2+...+k∗vm
其中k=sumvm。
定义dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。
　　那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种硬币（所有硬币）构成sum的所有组合数。
　　在上面的联合等式中，当xm=0时，有多少种组合呢？ 实际上就是前i-1种硬币组合sum，有dp[i-1][sum]种！
　　xm=1 时呢，有多少种组合？ 实际上是用前i-1种硬币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp[i-1][sum -Vm]种; xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]种。所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。
dp[i][sum]=dp[i−1][sum−0∗vm]+dp[i−1][sum−1∗vm]+dp[i−1][sum−2∗vm]+…+dp[i−1][sum−k∗vm]
其中k=sumvm。
初始情况：如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0，
dp[i][0]=1其中i=0,1,2,...,m
如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种硬币要组成sum，我们规定为dp[0][sum] = 0。
思路3：硬币组合问题，本质上就是组合数的问题，解决组合问题，非常经典的算法是回溯算法，它在无限的解空间中深度优先搜索。

第一种动态规划算法实现如下：

import java.util.Scanner;/** * 有几种纸币面值1, 5, 10, 20, 50, 100元，假设每种面值的纸币无限，用它们组合成N元。找出所有的组合数。 * @author ShaoCheng * @version 1.0 2015-9-19 */public class Solution {    /**     * @param N 输入的总和N     * @return 所有的组合数     */    public long getNumberOfCombinations(int N) {        int coinKinds = coins.length;        int[][] dp = new int[coinKinds+1][N+1];        for(int i = 0; i <= coinKinds; i++){ //初始化            for(int j = 0; j <= N; ++j){                dp[i][j] = 0;            }        }        for(int i = 0; i <= coinKinds; i++){            dp[i][0] = 1;//前i种纸币组合成0，只有一种情况就是个数均为0        }        for(int i = 1; i <= coinKinds; i++){            for(int j = 1; j <= N; j++){                dp[i][j] = 0;                for(int k = 0; k <= j / coins[i-1]; k++){                    dp[i][j] += dp[i-1][j - k*coins[i-1]];                }            }        }        return dp[coinKinds][N];    }    public static void main(String[] args){        Solution sl = new Solution();        Scanner scanner = new Scanner(System.in);        int N = scanner.nextInt();        long res = sl.getNumberOfCombinations(N);        System.out.println(res);        scanner.close();    }    public Solution() {        // TODO Auto-generated constructor stub        coins = new int[]{1, 5, 10, 20, 50, 100};    }    private int[] coins;}

回溯算法实现如下：

import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;/** * 有几种纸币面值1, 5, 10, 20, 50, 100元，假设每种面值的纸币无限，用它们组合成N元。找出所有的组合数。 * @author ShaoCheng * @version 1.1 2015-9-20 */public class Solution {    /**     * @param N 输入的总和N     * @return 所有的组合数     */    public long getNumberOfCombinations(int N) {        long sum = 0;        return getNumberOfCombinations(N, sum, 0);    }    public long getNumberOfCombinations(int N, long sum, int start){        long count = 0;        for(int i = start; i < coins.length; i++){            sum += coins[i];            if(sum == N){                count++;                break;            }            if(sum < N){                count += getNumberOfCombinations(N, sum, i);                sum -= coins[i];            }            else                break;        }        return count;    }    public static void main(String[] args){        Solution sl = new Solution();        Scanner scanner = new Scanner(System.in);        int N = scanner.nextInt();        long res = sl.getNumberOfCombinations(N);        System.out.println(res);        scanner.close();    }    public Solution() {        // TODO Auto-generated constructor stub        coins = new int[]{1, 5, 10, 20, 100, 50}; //如果乱序，应先排序        Arrays.sort(coins);    }    private int[] coins;}