变换域中的离散时间系统

某些实际信号不存在傅里叶变换。就像拉普拉斯变换的引入一样，加了个衰减因子就满足条件了。而从拉普拉斯到z变换，可以理解为连续到离散的映射。

z变换是一个无穷级数，无穷级数就有收敛域的问题。可以理解为收敛域就是傅里叶变换存在的区域。

z变换求反变换的部分分式法有函数可以计算：[r,p,C] = residuez(b,a)

其中b和a为按z-1升幂序列排列的多项式的分子和坟墓的系数向量；

r为各个根的留数向量；p为极点向量。C先不管。

也可以用h = impz(b,a,N)。这个之前有介绍过，就是已知多项式分子分母求h(n)的。也就是说可以来求反变换。

至于求解差分方程，之前介绍过filter(b,a,x,xic)，xic是初始条件输入序列。

其中初始条件计算：xic = filtic(b,a,Y,X)

b和a是分子分母系数数组。Y和X是初始条件数组，Y=[y(-1),y(-2),...]，X=[x(-1),x(-2)...]。

接下来讲讲z平面上的谱分析。

之前学过DTFT的几何画法。可以发现，如果极点靠单位圆很近，频率特性在靠近极点附近会出现大的谐振峰，分母迅速减小。

由于稳定性要求，极点要在单位圆内，这样阐释的都是负相移。当零点也在单位圆内，系统的负相移最小（零点可产生正相移抵消），称最小相位系统。

非单位圆周上的频谱分析。

例如语音信号处理中，常常需要知道极点所对应的频率。如果极点里单位圆较远，则单位圆上的频谱就很平滑。

如果使采样点轨迹沿一条接近这些极点的弧线或圆周进行，则采样结果会在极点对应的频率上出现明显的尖峰。

关于理想滤波器，其脉冲响应是sa函数。为了因果，只能截取n>=0部分。考虑到线性相位要求，截取的序列必须对称。

为了使更接近于理想情况，应该尽可能增加延迟时间，加大截取长度（阶数）。

截取的序列越短，幅频特性与理想情况差别越大。

截取的序列若是对称的，则相频为线性。若不对称，相频特性则非线性。

用零极点分析滤波器。

规律是：离零点越近的频率，幅度越小。离极点越近的频率，幅度越大。

由z = eiw，z=-1离低频最远。因此取零点z=-1可以得到更高的低频幅度。

z=-1后，对一阶低通滤波器，通带宽度与极点a的关系近似是wp = 1-a。注意wp是数字频率。

二阶则更加灵活。为了滤波或者陷波，可以直接把零点配置在这个角频率的单位圆上ejw0。

同理，梳状滤波器就是把零点均匀分布在单位圆上。极点位置很靠近零点位置，能将陷波特性做的很窄。

不过陷波器相频特性不好，一般要级联全通滤波器进行校正。