离散Hilbert变换的一些说明

来源：互联网发布：巨灵新闻数据库编辑：程序博客网时间：2024/05/22 12:38

Xiajing20060721@csdn

序列 $x[n]=x_r[n]+jx_i[n]$ 中, $x_r[n]$ 和 $x_i[n]$ 都为实序列，其DTFT为 $X(e^{j\omega})=X_r(e^{j\omega})+jX_i(e^{j\omega})$ ， $X_r(e^{j\omega})$ 和 $X_i(e^{j\omega})$ 分别为 $x_r[n]$ 和 $x_i[n]$ 的DTFT。写成DFT的形式为 $X[k]=X_r[k]+jX_i[k]$ 。

已知序列为 $x_r[n]$ ，求其Hilbert变换，则先求出其DFT， $X_r(k)$ ，然后与c[k]相乘得到X[k]，即

$X[k]=X_r[k]c[k]$

其中c[k]为

$c[k]=\left\{\begin{array}{lr}1 &\ \ k=0\ or\ N/2 \\2&\ \ \ 0 \textless k \textless N/2 \\0 & N/2\textless k\textless N \end{array}\right.$

这里N为序列长度。如果N为偶数，则c[k]有两点为1，分别为k=0,N/2。如果N为奇数，则c[k]在N/2未定义，c[k]只有k=0一点为1。这样得到

$X_i[k]=\left\{\begin{array}{ll}0 &k=0 or N/2 \\ -jX_r[k]&0\textless k\textless N/2 \\ jX_r[k] & N/2\textless k\textless N \end{array} \right.$

则 $X_i[k]$ 和 $X_r[k]$ 的关系为

$X_i[k]=X_r[k]H[k]$

其中H[k]为

$H[k]=\left\{\begin{array}{ll}0&k=0 or N/2 \\-j &0\textless k\textless N/2 \\ j & N/2\textless k\textless N \end{array} \right.$

对于0<k<N/2时的讨论：

此时 $X_i[k]$ 相对于 $X_r[k]$ 相移 $-90^\circ$ , 再与j相乘则等于 $X_r[k]$ ，因此c[k]的系数为2。

对于N/2<k<N时的讨论：

此时 $X_i[k]$ 相对于 $X_r[k]$ 相移 $90^\circ$ , 再与j相乘则等于 $-X_r[k]$ ，因此c[k]的系数为0

对于k=0时的讨论：

$X[0],X_r[0]$ 对应的是直流分量， $X_i[0]$ 可以为 $jX_r[0]$ ，这样c[k]为

$c[k]=\left\{\begin{array}{ll}1+j &k=0 \\1&k=N/2\\2&0\textless k\textless N/2 \\0 &N/2\textless k\textless N\end{array} \right.$

但一般都使 $X_i[0]=0$ 。

对于k=N/2时的讨论：

只有N为偶数时才有意义。DFT的X[N/2]对应DTFT的 $X[e^{j\pi}]$ ，Fourier变换时实际是交替的乘以实数 $\pm 1$ ，这样 $X_r[N/2]$ 为实数， $jX_i[N/2]$ 为纯虚数，X[N/2]的实部完全由 $X_r[N/2]$ 决定，所以c[N/2]的实部为1。k=N/2对应的频率的每个周期的采样点个数为2，采样值为交替的实相反数，因此振幅和初相是不固定的，初相是0，采样值的模是振幅，初相是 $\pi/4$ ，采样值的模是振幅的 $\sqrt{2}/2$ ，所以可以将其看成是在峰值采样，峰值采样得到序列对应的原信号相移 $90^\circ$ 采样得到的值都是0，所以频率为 $\pi/2$ 的信号经过离散Hilbert变换后应该为0， $X[N/2]$ 只由 $x_r[n]$ 决定，c[N/2]=1。