平衡树 算法摘记

平衡树是计算机科学中的一类改进的二叉查找树。一般的二叉查找树的查询复杂度是跟目标结点到树根的距离（即深度）有关，因此当结点的深度普遍较大时，查询的均摊复杂度会上升，为了更高效的查询，平衡树应运而生了。

在这里，平衡指所有叶子的深度趋于平衡，更广义的是指在树上所有可能查找的均摊复杂度偏低。

对一棵查找树（search tree）进行查询/新增/删除 等动作, 所花的时间与树的高度h 成比例, 并不与树的容量 n 成比例。如果可以让树维持矮矮胖胖的好身材, 也就是让h维持在O(lg n)左右, 完成上述工作就很省时间。能够一直维持好身材, 不因新增删除而长歪的搜寻树, 叫做balanced search tree（平衡树）。

旋转Rotate —— 不破坏左小右大特性的小手术：二叉左旋，二叉右旋

各种平衡树

• AVL树，经典平衡树, 所有操作的最坏复杂度都是的。

AVL树，它或者是一颗空二叉树，或者是具有下列性质的二叉树：

(1) 其根的左右子树高度之差的绝对值不能超过1；

(2) 其根的左右子树都是二叉平衡树。

AVL树查找的时间复杂度为O(logN)，因为树一定是平衡的。但是由于插入或删除一个节点时需要扫描两趟树，依次向下查找插入点，依次向上平衡树，AVL树不如红黑树效率高，也不如红黑树常用。

• Treap，利用随机堆的期望深度来优化树的深度，达到较优的期望复杂度。

Treap是一棵二叉排序树，它的左子树和右子树分别是一个Treap，和一般的二叉排序树不同的是，Treap纪录一个额外的数据，就是优先级。Treap在以关键码构成二叉排序树的同时，还满足堆的性质(在这里我们假设节点的优先级大于该节点的孩子的优先级)。但是这里要注意的是Treap和二叉堆有一点不同，就是二叉堆必须是完全二叉树，而Treap并不一定是。

• 伸展树，使得经常查找的结点深度较小，从而降低均摊复杂度。

平衡树的一种，每次将待操作节点提到根，每次操作时间复杂度为O(logn)。

由于Splay Tree仅仅是不断调整，并没有引入额外的标记，因而树结构与标准BST没有任何不同，从空间角度来看，它比Treap、Red-Black Tree、AVL要高效得多。因为结构不变，因此只要是通过左旋和右旋进行的操作对Splay Tree性质都没有丝毫影响，因而它也提供了BST中最丰富的功能，包括快速的拆分和合并，并且实现极为便捷。这一点是其它结构较难实现的。其时间效率也相当稳定，和Treap基本相当

• 红黑树。

红黑树的平衡是在插入和删除的过程中取得的。对一个要插入的数据项，插入程序要检查不会破坏树一定的特征。如果破坏了，程序就会进行纠正，根据需要更改树的结构。通过维持树的特征，保持了树的平衡。

红黑树有两个特征：

(1) 节点都有颜色

(2) 在插入和删除过程中，要遵循保持这些颜色的不同排列的规则。

红黑规则：

1. 每一个节点不是红色的就是黑色的

2. 根总是黑色的

3. 如果节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的（反之不一定成立）

4. 从根到叶节点或空子节点的每条路径，必须包含相同数目的黑色节点。

（空子节点是指非叶节点可以接子节点的位置。换句话说，就是一个有右子节点的节点可能接左子节点的位置，或是有左子节点的节点可能接右子节点的位置）

• 節點大小平衡樹。

Size Balanced Tree(SBT平衡树）是2007年Winter Camp上由我国著名OI选手陈启峰发布的他自己创造的数据结构。相比于一般的平衡树，此平衡树具有的特点是：快速（远超Treap，超过AVL)、代码简洁、空间小（是线段树的1/4左右）、便于调试和修改等优势。

与一般平衡搜索树相比，该数据结构只靠维护一个Size来保持树的平衡，通过核心操作Maintain(修复）使得树的修改平摊时间为O(1)。因而大大简化代码实现复杂度、提高运算速度。

SBT的高度是O(logn)，Maintain是O(1)，所有主要操作都是O(logn)。

• 2-3树
• AA树
• 朝鮮樹
• 替罪羊樹

其他类型

• 跳表，一种支持平衡树大多数操作的数据结构

• 跳跃列表（也称跳表）是一种随机化数据结构，基于并联的链表，其效率可比拟于二叉查找树（对于大多数操作需要O(log n)平均时间）。

  基本上，跳跃列表是对有序的链表增加上附加的前进链接，增加是以随机化的方式进行的，所以在列表中的查找可以快速的跳过部分列表，因此得名。所有操作都以对数随机化的时间进行。

应用

用于表示有序的线性数据结构，如优先队列、关联数组、键-值的映射等。自平衡的二叉查找树的实现与其竞争对手hash表的实现，各具有优缺点。自平衡二叉查找树在按序遍历所有键值时是量级最优的，hash表不能。自平衡二叉查找树在查找一个键值时，最坏情况下时间复杂度优于hash表， O(log n)对比O(n)；但平均时间复杂度逊于hash表，O(log n)对比O(1)。

自平衡二叉查找树的排序方法，虽然在平均时间复杂度上也是O(n log n)，但由于cache性能、树的调整操作等，性能上不如快速排序、堆排序、合并排序。

优                劣 线性表           遍历数据         不同内部结构的线性表优劣不同 二叉平衡树       搜索数据             增删元素耗时 哈希表           索引数据             耗费空间