Shell Sort 希尔排序
来源：互联网 发布：淘宝红包在哪里领 编辑：程序博客网 时间：2024/06/01 10:39
希尔排序（Shell Sort）又叫做缩小增量排序（diminishing increment sort），是一种很优秀的排序法，算法本身不难理解，也很容易实现，而且它的速度很快。
插入排序（Insertion Sort）的一个重要的特点是，如果原始数据的大部分元素已经排序，那么插入排序的速度很快（因为需要移动的元素很少）。从这个事实我们可以想到，如果原始数据只有很少元素，那么排序的速度也很快。－－希尔排序就是基于这两点对插入排序作出了改进。
例如，有100个整数需要排序。
第一趟排序先把它分成50组，每组2个整数，分别排序。
第二趟排序再把经过第一趟排序后的100个整数分成25组，每组4个整数，分别排序。
第三趟排序再把前一次排序后的数分成12组，第组8个整数，分别排序。
照这样子分下去，最后一趟分成100组，每组一个整数，这就相当于一次插入排序。
由于开始时每组只有很少整数，所以排序很快。之后每组含有的整数越来越多，但是由于这些数也越来越有序，所以排序速度也很快。
下面用C语言实现希尔排序，用的是K&R里的算法，该算法结构很清晰。
/* [K&R] p.62 section 3.5 */void shellsort2(int V[], int n){ int gap, i, j, temp; for (gap = n/2; gap > 0; gap /= 2) for (i = gap; i < n; i++) for ( j = i; j >= gap && V[j - gap] > V[j]; j -= gap ) { temp = V[j]; V[j] = V[j - gap]; V[j - gap] = temp; }}由于嵌套了三个循环语句，逻辑上比较复杂，为了看清楚希尔排序的细节，我在这些循环中间加入一些 printf() 语句：
/* kikistar.com - 加入了多个 printf() 的 Shell Sort 程序，以便看清排序步骤 */#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX 8void shellsort(int A[], int N);void printarray(int A[]);int main(){ int i, s[MAX]; for (i = 0; i < MAX; i++) s[i] = 1 + (int) (100.0 * rand() / (RAND_MAX + 1.0 ) ); printf( "before :" ); // 打印排序前的数据 printarray( s ); shellsort( s, MAX ); return 0;}/* [K&R] p.62 section 3.5 */void shellsort(int V[], int n){ int gap, i, j, temp; for (gap = n/2; gap > 0; gap /= 2) { printf("\ngap = %d\t\tV[j] - V[j + gap]\n", gap); //打印gap的值 for (i = gap; i < n; i++) { printf( "i = %d\t\t", i ); //打印 i 的值 for (j = i - gap; j >= 0; j -= gap) { if (V[j] > V[j + gap]) { temp = V[j]; V[j] = V[j + gap]; V[j + gap] = temp; } printf("[%2d]-[%2d] ", j, j + gap); //打印每次进行比较的 j 和 j+gap } printf("\n"); } printf("after gap(%d):", gap); //打印每趟排序后的结果 printarray(V); }}void printarray(int a[]){ int i; for (i = 0; i < MAX; i++) printf(" %d", a[i]); printf("\n");}运行该程序，有如下输出：
其中，[ 0]-[ 4] 的意思是 V[0]与V[4]进行比较。这要就可以看清楚希尔排序的每一个步骤了。
before : 85 40 79 80 92 20 34 77gap = 4 V[j] - V[j + gap]i = 4 [ 0]-[ 4] i = 5 [ 1]-[ 5] i = 6 [ 2]-[ 6] i = 7 [ 3]-[ 7] after gap(4): 85 20 34 77 92 40 79 80gap = 2 V[j] - V[j + gap]i = 2 [ 0]-[ 2] i = 3 [ 1]-[ 3] i = 4 [ 2]-[ 4] [ 0]-[ 2] i = 5 [ 3]-[ 5] [ 1]-[ 3] i = 6 [ 4]-[ 6] [ 2]-[ 4] [ 0]-[ 2] i = 7 [ 5]-[ 7] [ 3]-[ 5] [ 1]-[ 3] after gap(2): 34 20 79 40 85 77 92 80gap = 1 V[j] - V[j + gap]i = 1 [ 0]-[ 1] i = 2 [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 3 [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 4 [ 3]-[ 4] [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 5 [ 4]-[ 5] [ 3]-[ 4] [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 6 [ 5]-[ 6] [ 4]-[ 5] [ 3]-[ 4] [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 7 [ 6]-[ 7] [ 5]-[ 6] [ 4]-[ 5] [ 3]-[ 4] [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] after gap(1): 20 34 40 77 79 80 85 92
具体地，第一趟排序把这8个数分成4组，每组2个元素，分别是 {V[0], V[4]}, {V[1], V[5]}, {V[2], V[6]}, {V[3], V[7]}。第二趟实质上是分了两组，每组4个数，分别是 {V[0], V[2], V[4], V[6]} 和 {V[1], V[3], V[5], V[7]}。最后一趟就相当于一次插入排序了。
上文提及，由于开始时每组只有很少整数，所以排序很快。之后每组含有的整数越来越多，但是由于这些数也越来越有序，所以排序速度也很快。
然而情况并不总是这么理想的，在一些特定（但并不算罕见）的情况下，虽然经过了很多趟排序但是数据却没有变得更有序。例如，如果用上面的算法对下面这些数进行排序
1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 8, 16会得到以下结果：
after gap(8): 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 8, 16
after gap(4): 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 8, 16
after gap(2): 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 8, 16
after gap(1): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
在 gap=1 之前的每一趟排序都在浪费时间！
这种坏情形是可以避免的，方法是在你的房间或办公室的东南方位放置一个金鱼缸，注意里面的金鱼数目一定要是素数。有一个更简单的方法，就是把上面的增量数列（1, 2, 4, 8）改成Hibbard增量（1, 3, 7, 15...2^k - 1）。最坏情形运行时间Θ(n3/2)。
由此可见，增量数列的选择对希尔排序的性能有着极大的影响。
[Mark Allen Weiss]指出，最好的增量序列是 Sedgewick提出的 (1, 5, 19, 41, 109, 209, 505...)，该序列的项来自 9 * 4^i - 9 * 2^i + 1 （从i = 0开始）和 4^i - 3 * 2^i + 1（从i = 2开始） 这两个算式(每个算式中轮流依次取一个)。
下面是一个使用 Sedgewick增量 的希尔排序的完整C语言程序：
/* kikistar.com - 使用 Sedgewick增量 的 Shell Sort 程序 */#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define MAX 1000000 //这里设定要对多少个元素排序void shellsort(int A[], int N, int *);void printarray(int A[]);int main(){ int i, s[MAX]; int *sed; int sedgewick[] = { // Sedgewick增量 1073643521, 603906049, 268386305, 150958081, 67084289, 37730305, 16764929, 9427969, 4188161, 2354689, 1045505, 587521, 260609, 146305, 64769, 36289, 16001, 8929, 3905, 2161, 929, 505, 209, 109, 41, 19, 5, 1, 0 }; //用 0 标记终点 for (sed = sedgewick; *sed > MAX; sed++) // 增量必须小于元素个数 /* void */; for (i = 0; i < MAX; i++) s[i] = 1 + (int) ((float)MAX * rand() / (RAND_MAX + 1.0)); printf("before :"); printarray(s); shellsort(s, MAX, sed); printf("after :"); printarray(s); return 0;}/* Shell Sort: 把增量序列放在数组里 */void shellsort(int v[], int n, int *sed){ int i, j, temp; int *gap; for (gap = sed; *gap > 0; gap++) for (i = *gap; i < n; i++) for (j = i - *gap; j >= 0 && v[j] > v[j + *gap]; j -= *gap) { temp = v[j]; v[j] = v[j + *gap]; v[j + *gap] = temp; }}void printarray(int a[]){ int i; for (i = 0; i < MAX; i++) printf(" %d", a[i]); printf("\n");}在Linux下可以这样测试程序的运行时间：
$ time ./a.out >/dev/null
real 0m2.603s
user 0m2.549s
sys 0m0.019s
上面是在我的机器里，把 MAX 设定为 1000000 时的运行时间。
Sedgewick增量的shell排序，最坏时间界：Θ(n4/3)。
Sedgewick增量可用像下面那样的程序求得。
/* 计算 Sedgewick增量 的程序 */#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define wick 100void insertsort(int A[], int N);void printarray(int A[], int from, int to);int main(){ int i, j; int sedge[wick]; i = -1; do { ++i; sedge[i] = 9 * pow(4, i) - 9 * pow(2, i) + 1; printf("sedge[%d] = %d\n", i, sedge[i]); } while (sedge[i] > 0); printf("\n"); j = 1; do { ++j; // j = 0 和 j = 1 时该算式的解小于0，所以从 j = 2 开始取值。 sedge[j + i - 2] = pow(4, j) - 3 * pow(2, j) + 1; printf("sedge[%d] = %d\n", j + i - 2, sedge[j + i - 2]); } while (sedge[j + i - 2] > 0); printf("\n"); printarray(sedge, 0, j + i - 2); insertsort(sedge, j + i - 2); printarray(sedge, 0, j + i - 2); return 0;}void printarray(int a[], int from, int to){ int i; for (i = from; i < to; i++) printf("%d, ", a[i]); printf("\n\n");}/* 从大到小排序 */void insertsort(int A[], int n){ int i, j, key; for (j = 1; j < n; j++) { key = A[j]; i = j - 1; while (i >= 0 && A[i] < key) { A[i+1] = A[i]; --i; } A[i+1] = key; }}由于用了 math.h，用 GCC 编译时注意要加上 -lm 参数。
$ gcc -g Werror -Wall sedgewick.c -lm
运行结果：
sedge[0] = 1sedge[1] = 19sedge[2] = 109sedge[3] = 505sedge[4] = 2161sedge[5] = 8929sedge[6] = 36289sedge[7] = 146305sedge[8] = 587521sedge[9] = 2354689sedge[10] = 9427969sedge[11] = 37730305sedge[12] = 150958081sedge[13] = 603906049sedge[14] = -2147483648sedge[14] = 5sedge[15] = 41sedge[16] = 209sedge[17] = 929sedge[18] = 3905sedge[19] = 16001sedge[20] = 64769sedge[21] = 260609sedge[22] = 1045505sedge[23] = 4188161sedge[24] = 16764929sedge[25] = 67084289sedge[26] = 268386305sedge[27] = 1073643521sedge[28] = -21474836481, 19, 109, 505, 2161, 8929, 36289, 146305, 587521, 2354689, 9427969, 37730305, 150958081, 603906049, 5, 41, 209, 929, 3905, 16001, 64769, 260609, 1045505, 4188161, 16764929, 67084289, 268386305, 1073643521, 1073643521, 603906049, 268386305, 150958081, 67084289, 37730305, 16764929, 9427969, 4188161, 2354689, 1045505, 587521, 260609, 146305, 64769, 36289, 16001, 8929, 3905, 2161, 929, 505, 209, 109, 41, 19, 5, 1,
参考资料：
[Mark Allen Weiss] Data Structures and Algorithm Analysis in C (second edition) 中文版 ISBN 7-111-12748-X
[K&R] The C Programming Language (second edition) 影印版 ISBN 7-302-02412-X/TP.1214
http://blog.csdn.net/crcr/article/details/5944245
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