动态规划入门（四）DP 基本思想与实现

POJ1160, post office。动态规划的经典题目。呃，又是经典题目，DP部分的经典题目怎就这么多。木有办法，事实就这样。

求：在村庄内建邮局，要使村庄到邮局的距离和最小。

设有m个村庄，分别为 V1 V2 V3 … Vm， 要建n个邮局，分别为P1 P2 P3 … Pn。

在DP的问题中，经常有从m个物体中选n个物体的情况，本题显然也属于这种情况。一般可以这样考虑：假设已经选了1个，那么就成了在m-1个中选n-1个的问题了。

对于此题，也可以考虑先建一个邮局。建在哪里呢？不妨设，该邮局建在Vk+1..Vm之间的某个村庄里，而且规定Vk+1..Vm之间再不允许建立其他邮局了。因此，剩下的n-1个邮局必然出现在V1..Vk之间的村庄内，这样问题就转换成：在前k个村庄里选n-1个邮局的问题。

设dp( m,n )表示在V1…Vm之间建立n个邮局时的最短距离。

L( i, j )表示在Vi…Vj之间建立一个邮局的最短距离。

状态转换方程：

dp( m,n ) = Min( dp( k,n-1 ) + L( k+1,m ) ),    其中：1 <= k<m

编程实现：没啥说的，具体看代码。

心得;

DP的基本思想与分治法的基本思想是类似的；分析如下

1.都是组合子问题的解来求解求解原问题

2.分治法将问题划分为互不相交的子问题，递归地求解子问题，再将它们的解组合起来，求出原问题的解。

3.动态规划应用与子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题。

4.动态规划的实现方法是自底向上法，将子问题按规模排序，按由从小到大的顺序进行求解，当求解某个子问题时，它所依赖的更小的子问题已经求解完毕，结果已保存，每个子问题只需求解一次。

编程实现注意事项：

    //dp数组必须进行初始化for(int i=1;i<=vNum;i++)dp[i][0]=INF;

dp数组必须进行初始化，否则得不到正确结果

#include<iostream>using namespace std;//***************************常量定义***************************const int V_MAX=300;const int P_MAX=30;const int INF=999999;//**************************题目变量****************************//全局变量全部初始化为0int vNum;//村庄数int pNum;//邮局数int vPos[V_MAX];//村庄坐标//*************************算法变量*****************************int d[V_MAX][V_MAX];//d[i][j]表示第i个村庄与第j个村庄之间建一个邮局的最短距离int dp[V_MAX][P_MAX];//dp[m][n]表示前m个村庄里面建n个邮局的最短距离void solve(){  //计算d[i][j]for(int i=1;i<=vNum;i++)for(int j=i+1;j<=vNum;j++)d[i][j]=d[i][j-1]+(vPos[j]-vPos[(i+j)/2]);    //dp数组必须进行初始化for(int i=1;i<=vNum;i++)dp[i][0]=INF;//计算dp[i][j]for(int i=1;i<=vNum;i++)for(int j=1;j<=i&&j<=pNum;j++){int min=INF;for(int k=j-1;k<i;k++){if(dp[k][j-1]+d[k+1][i]<min) min=dp[k][j-1]+d[k+1][i];}dp[i][j]=min;}    cout<<dp[vNum][pNum];}int main(){cin>>vNum>>pNum;for(int i=1;i<=vNum;i++)cin>>vPos[i];solve();}

    //dp数组必须进行初始化for(int i=1;i<=vNum;i++)dp[i][0]=INF;

改进程序使之能输出选择的邮件序列，其思想与poj1458的思想类似，因为dp[m][n]的值取决于dp[k][n-1] （n-1=<k<=m）,所以

int flag[V_MAX][P_MAX];//flag[m][n]存储计算dp[m][n]时所选择的dp[k][n-1]的k

代码如下：

<pre name="code" class="cpp">#include<iostream>using namespace std;//***************************常量定义***************************const int V_MAX=300;const int P_MAX=30;const int INF=999999;//**************************题目变量****************************//全局变量全部初始化为0int vNum;//村庄数int pNum;//邮局数int vPos[V_MAX];//村庄坐标//*************************算法变量*****************************int d[V_MAX][V_MAX];//d[i][j]表示第i个村庄与第j个村庄之间建一个邮局的最短距离int dp[V_MAX][P_MAX];//dp[m][n]表示前m个村庄里面建n个邮局的最短距离int flag[V_MAX][P_MAX];//flag[m][n]存储计算dp[m][n]时所选择的dp[k][n-1]的kvoid solve(){  //计算d[i][j]for(int i=1;i<=vNum;i++)for(int j=i+1;j<=vNum;j++)d[i][j]=d[i][j-1]+(vPos[j]-vPos[(i+j)/2]);    //dp数组必须进行初始化for(int i=1;i<=vNum;i++)dp[i][0]=INF;//计算dp[i][j]for(int i=1;i<=vNum;i++)for(int j=1;j<=i&&j<=pNum;j++){int min=INF;int chose=0;//存储选择最小值对应的kfor(int k=j-1;k<i;k++){if(dp[k][j-1]+d[k+1][i]<min){ min=dp[k][j-1]+d[k+1][i]; chose=k;}}dp[i][j]=min;flag[i][j]=chose;}    cout<<dp[vNum][pNum]<<endl;}void PrintPostOffice(int vNum,int pNum){if((0==pNum)||pNum>vNum) return;else{   int k=flag[vNum][pNum];   PrintPostOffice(k,pNum-1);   cout<<vPos[(k+1+vNum)/2]<<" ";}}int main(){cin>>vNum>>pNum;for(int i=1;i<=vNum;i++)cin>>vPos[i];solve();cout<<"选择的邮件序列"<<endl;PrintPostOffice(vNum,pNum);}