对弗洛伊德(Floyd)算法的个人理解
来源:互联网 发布:俄罗斯社交软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 01:00
Floyd算法也是著名的最短路径求解算法,其过程非常简洁优雅,基本原理和Dijkstra算法相似。如果比较两个算法的时间复杂度,那么Dijkstra算法的效率要更高,因为Floyd算法的时间复杂度为O(n^3),而Dijkstra算法只需要O(n^2)的时间复杂度。但是Floyd算法的优势在于,它能一次求得任何两个节点之间的最短路径,而Dijkstra算法只能求得以特定节点开始的最短路径。
下面直接给出Floyd的算法的实现代码,理一理该算法的具体步骤,谈谈我自己的理解:
#define MAXVEX 15#define INFINITY 65535typedef int Pathmatrix[MAXVEX][MAXVEX]; //用于保存两节点间最短路径中某个节点的下标typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]; //用于保存两个节点之间的最短路径void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatrix *P, ShortPathTable *D){int v, w, k;//初始化for(v = 0; v < G.numVertexes; v++){for(w=0; w < G.numVertexes; w++){(*D)[v][w] = G.matrix[v][w];(*P)[v][w] = w;}}//Floyd算法实现for(k = 0; k < G.numVertexes; k++){for(v = 0; v < G.numVertexes; v++){for(w = 0; w < G.numVertexes; w++){if((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];(*P)[v][w] = k;}}}}}
接下来,是Floyd算法的更新过程。归纳一下它的更新过程,其实就是,每一次尝试在每一对节点Vv和Vw之间插入一个节点Vk,如果插入节点后,可以使得Vv和Vw之间的路径变短,那么进行一次更新,否则不更新。
那么,为什么按照这样的规则更新可以找到每对节点间的最短路径呢?我在这里举个例子说明一下,应该就可以把这个问题解释清楚了。假设我们事先已经知道从节点V2到V5之间的最短路径是:V2→V4→V9→V7→V5。
第一步,在初始化过程中,我们获得了(*D)[2][9]、(*D)[9][5]、(*D)[2][5]以及(*P)[2][9]、(*P)[9][5]、(*P)[2][5]的初始值。
第二步,按照Floyd算法进行迭代,迭代到k等于4时,我们会发现在V2和V9之间插入V4之后,V2和V9之间的路径长度达到了史上最低点,(*D)[2][9]更新为(*D)[2][4]+(*D)[4][9],(*P)[2][9]更新为4。而且在之后的迭代中都不会出现更短的路径,所以(*D)[2][9]和(*P)[2][9]在之后的迭代中都不会发生改变。
第三步,迭代到k等于7时,V9和V5之间的路径长度达到了史上最低点,(*D)[9][5]更新为(*D)[9][7]+(*D)[7][5],(*P)[9][5]更新为7,此后不再改变。
第四步,迭代到k等于9时,V2和V5之间的路径长度达到了史上最低点,(*D)[2][5]更新为(*D)[2][9]+(*D)[9][5],(*P)[2][5]更新为9,此后不再改变。这样也就找到了V2和V5之间的最短路径。
现在,我们算出了V2和V5之间的最短路径的长度,但是,怎样找到这条路径的轨迹呢?其实就是根据*P来推断。以上面的例子为例,如果我们要打印V2和V5之间的最短路径的轨迹。首先我们知道(*P)[2][5]=9,初步确定轨迹为V2→V9→V5。根据(*P)[2][9]=4且(*P)[9][5]=7,初步确定轨迹为V2→V4→V9→V7→V5。根据(*P)[2][4]=2,(*P)[4][9]=4,(*P)[9][7]=9,(*P)[7][5]=7,我们可以确定没有新的节点需要加入,所以确定最终的轨迹为V2→V4→V9→V7→V5。
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