算法分析——N个苹果放在N个盘子里的问题

问题的描述：现在有N个一模一样的苹果，要放在编号为1、2、3……、N的盘子里（假设盘子足够大，能放下所有的苹果），问一共有多少种放法？

 

算法分析：

用符号F（i，j）表示i个苹果放在j个盘子里的放法数

如果1号盘子里没有苹果，则i个苹果要放在剩余的j-1个盘子里

如果1号盘里有1个苹果，则剩余的i-1个苹果放在剩余的j-1个盘子里

如果1号盘里有2个苹果，则剩余的i-2个苹果放在剩余的j-1个盘子里

以此类推

如果1号盘里有i-1个苹果，则剩下的1个苹果放在j-1个盘子里

如果1号盘里有i个苹果，则剩下的j-1个盘子里没有苹果

 

于是得到以下的关系式

① F（i，j）=F（i，j-1）+F（i-1，j-1）+F（i-2，j-1）+……+F（1，j-1）+F（0，j-1）

由上面的式子可以得出

② F（i-1，j）=F（i-1，j-1）+F（i-2，j-1）+……+F（1，j-1）+F（0，j-1）

回代到①可知

③ F（i，j）=F（i，j-1）+F（i-1，j）

 

另由定义可知，

④ F（i，1）=1

⑤ F（1，i）=i

 

根据式子③④⑤，推测F（i，j）的计算公式为

⑥ F（i，j）=C（i，i+j-1） 注：C（M，N）表示组合数，表示N个里面选M的个数。组合数的计算公式这里不描述了

 

下面用数学归纳法证明式子⑥的正确性

证明：

F（i，1）=C（i，i+1-1）=C（i，i）=1 式子④满足式子⑥

F（1，i）=C（1，1+i-1）=C（1，i）=i 式子⑤满足式子⑥

 

假设F（i，j-1）、F（i-1，j）满足式子⑥

F（i，j-1）=C（i，i+j-1-1）=C（i，i+j-2）

F（i-1，j）=C（i-1，i-1+j-1）=C（i-1，i+j-2）

 

则由式子③可知

F（i，j）=F（i，j-1）+F（i-1，j）=C（i，i+j-2）+C（i-1，i+j-2）=C（i，i+j-1） 满足式子⑥

 

由此证明式子⑥的正确性

 

故计算公式为

F（i，j）=C（i，i+j-1）

 

那么

3个苹果放在3个盘子里的放法数为F（3，3）=C（3，3+3-1）=C（3，5）=10

2个苹果放在4个盘子里的放法数为F（2，4）=C（2，2+4-1）=C（2，5）=10

7个苹果放在7个盘子里的放法数为F（7，7）=C（7，7+7-1）=C（7，13）=1716

10个苹果放在10个盘子里的放法数为F（10，10）=C（10，10+10-1）=C（10，19）=92378

 

N个苹果放在N个盘子里的放法数为F（N，N）=C（N，2N-1）

整数划分问题和正整数连续划分问题：http://www.cnblogs.com/nokiaguy/archive/2008/05/11/1192308.html讲的很细致

放苹果问题：把m个苹果放到n个盘子里，允许有空，有多少种放法http://acm.tzc.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=2679

 

递归方程：f(m,n) = f(m,n-1) + f(m-n,n) //每次分有两种分法

f(m,n-1):把m个苹果放到n-1个盘子里，也就是说至少有一个空

f(m-n,n):先在每个盘子里放一个苹果,然后再把剩余苹果(m-n)放到n个盘子里，也就是说每个盘子里至少有一个

 

1.n == 1 || m == 1 即只有一个盘子或者只有一个苹果，显然只有一种分法；

2.m < n 即苹果数小于盘子数，这种情况f(m,n) ---> f(m,m)

3.m == n 此时每个盘子里至少一个只有一种情况所以为 1 + f(m,n-1)

4.m > n f(m,n-1) + f(m-n,n) （如一开始所说）

 

#include <</span>stdio.h>

int f(int m , int n)
{
if(m == 1 || n== 1 || m == 0) return 1;
if(m < n) return f(m, m);
return f(m - n, n) + f(m, n - 1);
}

int main(void)
{
int n , m , z;
scanf("%d", &z);
while(z-- > 0)
{
scanf("%d%d", &m ,&n);
printf("%d\n",f(m, n));
}
return 0;
}

作者：万仓一黍

出处：http://grenet.cnblogs.com/

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