总结之树

来源：互联网发布：无机晶体结构数据库编辑：程序博客网时间：2024/06/05 17:11

树有很多中，包括二叉树，AVL树（平衡二叉树），查找二叉树，完全二叉树，霍夫曼树（最优二叉树），红黑树等等。

对这些树的概念和应用场景，要有一个清楚的了解。

基础概念

二叉树：每个结点，最多有两个子树的有序树。二叉树常用来实现二叉查找树和二叉堆。

二叉查找树：也叫二叉搜索树或者二叉排序树。主要具有以下的性质，如果左子树不为空，则左子树的所有结点值均小于根节点；如果右子树不为空，则右子树的所有结点均大于它的根节点的值；左右子树也分别是二叉查找树。二叉查找树的中序遍历是一个有序的数列。

完全二叉树：除了最后一层，其它层的结点数都达到最大值；最后一层只缺少右边的若干结点。

堆：堆一般指的是二叉堆。二叉堆是一个完全二叉树或者近似完全二叉树。二叉堆满足两个特性，一个是父节点的键值总是大于或者等于任何一个子结点的键值；每个结点的左子树和右子树都是二叉堆。父节点的键值大于或者等于任何一个子节点的键值，则为最大堆；父节点的键值小于或者等于任何一个子节点的键值，则为最小堆。二叉堆可以用数组表示（按层遍历？），i的父节点的小标为（i-1）/2,左右子结点分别为2*i+1和2*i+2。比较常用的是堆排序，可以见排序那章总结。

平衡二叉树：也叫AVL树（但是不同于AVL算法），它的特点是要么是空要么左右子树的高度差绝对值不超过1，并且左右两个子树都是平衡二叉树。构造和调整平衡二叉树的常用方法有红黑树，AVL等。

红黑树：是一种自平衡二叉查找树，也叫做“对称二叉B树”。C++中的STL很多部分，包括set,multiset,map,multimap都应用了红黑树。

霍夫曼树（最优二叉树）：由n个权值作为n个叶子节点，构造一颗二叉树，若带权路径长度达到最小，则称为最优二叉树，也叫霍夫曼树。

权，就是树中结点赋予的某种含义的数值。比如说频率。

带权路径长度，从根节点到该结点之间的路径长度乘以权值。而树的带权路径长度，是所有叶子节点的带全路径长度之和。

霍夫曼树的构造，使用的是贪心算法。具体可以百度百科一下。

它在通信中有应用，可以用于报文编码，使得报文的编码长度最短。

关于二叉树的递归

说到递归。先说一下return。return只能将当前循环的值往上一层返回，而不能终止递归继续。如果我们需要终止递归，那么就需要新加一些条件，比如说定义一个全局变量来判断。百度上有一个文章说这个：http://jingyan.baidu.com/article/c45ad29cf51378051753e200.html

写递归的时候一定要记得它的结束条件，否则会陷入无限递归的状态。

在理解递归的时候，要从函数的功能意义的角度去理解，一个问题如何被分解成它的子问题，这样递归代码就容易理解了。千万不要，通过分析堆栈，分析一个一个函数的调用过程，输出结果来分析递归的算法。这样只会把自己搞晕。其实递归的本质也是函数调用，调用自己和调用其它函数其实没有什么区别。

有一个文章写得不错，可以参考一下：

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40404915

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1.前序遍历，中序遍历和后序遍历

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/44049033

2.层次遍历

有两种方式实现，一个是采用队列来模拟实现。另外一种是采用递归。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40078439

3，二叉查找树的恢复（Recover Binary Search Tree）

要注意到它的中序遍历是一个递增的数列。只要生成中序遍历，排序，然后再生成二叉查找树即可。这需要时间复杂度为O(nlogn),空间复杂度为O(n)。

如果知道有几个数据乱的话，可以用常数级的空间复杂度来实现。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40356595

4.相同的树（Same Tree）

用递归解决这个问题，清楚简单，注意终止条件。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40392407

5.对称树（Symmetric Tree）

也是一个递归解题的典范。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40393589

6.平衡二叉树（Balanced Binary Tree）

用树的高度来判断是否是平衡二叉树。

如果是空树，就返回0；如果是平衡二叉树，则返回树的高度，如果不是返回-1.只要有一个函数返回了-1，则整个函数都会返回-1.

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40405457

7.二叉树的构建

二叉树的创建，遍历。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40075873

8.判断是否是二叉查找树（Validate Binary Search Tree）

判断是否是二叉查找树，只要求中序遍历，看看是否是递增数列。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40429999

9.有序数组转化为二叉查找树（Convert Sorted Array to Binary Search Tree）

将一个有序数组，转换为一个二叉查找树。采用二分法。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40433585

10.二叉树的最低高度（Minimum Depth of Binary Tree）

递归思想的好题。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40435279

11.是否存在一个和等于sum的路径（Path Sum）

递归思想。

题目只要求返回 true 或者 false，因此不需要记录路径。

由于只需要求出一个结果，因此，当左、右任意一棵子树求到了满意结果，都可以及时 return。

由于题目没有说节点的数据一定是正整数，必须要走到叶子节点才能判断，因此中途没法剪枝，只能进行朴素深搜。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40449889

12.找到所有和等于sum的路径（Path Sum II）

递归思想。

跟上一题相比，本题是求路径本身。且要求出所有结果，左子树求到了满意结果，不能 return，要接着求右子树。

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40449907

13.最近公共祖先（Lowest Commen Ancensor）

http://blog.csdn.net/chencheng126/article/details/40474843

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