快速数论变换（NTT）

FFT的复数精度问题让我很不爽，算法导论上确实提了一下可以用数论的方法实现傅立叶变换，可是我一直不知道怎么搞，现在终于找到了质料

以下内容转自ACdreamers （http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39026505）

在上一篇文章中 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变

换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质，大大减少了运算，但是这种做法是对复数系数的矩阵

加以处理，每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分系数都是浮点数，我们必须做复数及浮点数

的计算，计算量会比较大，而且浮点数的计算可能会导致误差增大。

 

今天，我将来介绍另一种计算多项式乘法的算法，叫做快速数论变换（NTT），在离散正交变换的理论中，已经证明在

复数域内，具有循环卷积特性的唯一变换是DFT，所以在复数域中不存在具有循环卷积性质的更简单的离散正交变换。

因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换。

 

回忆复数向量，其离散傅里叶变换公式如下

 

   

 

离散傅里叶逆变换公式为

 

   

 

今天的快速数论变换（NTT）是在上进行的，在快速傅里叶变换（FFT）中，通过次单位复根来运算的，即满

足的，而对于快速数论变换来说，则是可以将看成是的等价，这里是模素数

的原根（由于是素数，那么原根一定存在）。即

 

        

 

所以综上，我们得到数论变换的公式如下

 

    

 

而数论变换的逆变换公式为

 

    

 

这样就把复数对应到一个整数，之后一切都是在系统内考虑。

 

上述数论变换（NTT）公式中，要求是素数且必须是的因子。由于经常是2的方幂，所以可以构造形

如的素数。通常来说可以选择为费马素数，这样的变换叫做费马数数论变换。

 

这里我们选择，，这样得到模的原根值为。

 

 

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028

 

分析：题目意思就是大数相乘，此处用快速数论变换（NTT）实现。

 

代码：

[cpp] view plaincopy

1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdio.h>  
4.   
5. using namespace std;  
6. typedef long long LL;  
7.   
8. const int N = 1 << 18;  
9. const int P = (479 << 21) + 1;  
10. const int G = 3;  
11. const int NUM = 20;  
12.   
13. LL  wn[NUM];  
14. LL  a[N], b[N];  
15. char A[N], B[N];  
16.   
17. LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)  
18. {  
19.     LL ans = 1;  
20.     a %= m;  
21.     while(b)  
22.     {  
23.         if(b & 1)  
24.         {  
25.             ans = ans * a % m;  
26.             b--;  
27.         }  
28.         b >>= 1;  
29.         a = a * a % m;  
30.     }  
31.     return ans;  
32. }  
33.   
34. void GetWn()  
35. {  
36.     for(int i=0; i<NUM; i++)  
37.     {  
38.         int t = 1 << i;  
39.         wn[i] = quick_mod(G, (P - 1) / t, P);  
40.     }  
41. }  
42.   
43. void Prepare(char A[], char B[], LL a[], LL b[], int &len)  
44. {  
45.     len = 1;  
46.     int len_A = strlen(A);  
47.     int len_B = strlen(B);  
48.     while(len <= 2 * len_A || len <= 2 * len_B) len <<= 1;  
49.     for(int i=0; i<len_A; i++)  
50.         A[len - 1 - i] = A[len_A - 1 - i];  
51.     for(int i=0; i<len - len_A; i++)  
52.         A[i] = '0';  
53.     for(int i=0; i<len_B; i++)  
54.         B[len - 1 - i] = B[len_B - 1 - i];  
55.     for(int i=0; i<len - len_B; i++)  
56.         B[i] = '0';  
57.     for(int i=0; i<len; i++)  
58.         a[len - 1 - i] = A[i] - '0';  
59.     for(int i=0; i<len; i++)  
60.         b[len - 1 - i] = B[i] - '0';  
61. }  
62.   
63. void Rader(LL a[], int len)  
64. {  
65.     int j = len >> 1;  
66.     for(int i=1; i<len-1; i++)  
67.     {  
68.         if(i < j) swap(a[i], a[j]);  
69.         int k = len >> 1;  
70.         while(j >= k)  
71.         {  
72.             j -= k;  
73.             k >>= 1;  
74.         }  
75.         if(j < k) j += k;  
76.     }  
77. }  
78.   
79. void NTT(LL a[], int len, int on)  
80. {  
81.     Rader(a, len);  
82.     int id = 0;  
83.     for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)  
84.     {  
85.         id++;  
86.         for(int j = 0; j < len; j += h)  
87.         {  
88.             LL w = 1;  
89.             for(int k = j; k < j + h / 2; k++)  
90.             {  
91.                 LL u = a[k] % P;  
92.                 LL t = w * (a[k + h / 2] % P) % P;  
93.                 a[k] = (u + t) % P;  
94.                 a[k + h / 2] = ((u - t) % P + P) % P;  
95.                 w = w * wn[id] % P;  
96.             }  
97.         }  
98.     }  
99.     if(on == -1)  
100.     {  
101.         for(int i = 1; i < len / 2; i++)  
102.             swap(a[i], a[len - i]);  
103.         LL Inv = quick_mod(len, P - 2, P);  
104.         for(int i = 0; i < len; i++)  
105.             a[i] = a[i] % P * Inv % P;  
106.     }  
107. }  
108.   
109. void Conv(LL a[], LL b[], int n)  
110. {  
111.     NTT(a, n, 1);  
112.     NTT(b, n, 1);  
113.     for(int i = 0; i < n; i++)  
114.         a[i] = a[i] * b[i] % P;  
115.     NTT(a, n, -1);  
116. }  
117.   
118. void Transfer(LL a[], int n)  
119. {  
120.     int t = 0;  
121.     for(int i = 0; i < n; i++)  
122.     {  
123.         a[i] += t;  
124.         if(a[i] > 9)  
125.         {  
126.             t = a[i] / 10;  
127.             a[i] %= 10;  
128.         }  
129.         else t = 0;  
130.     }  
131. }  
132.   
133. void Print(LL a[], int n)  
134. {  
135.     bool flag = 1;  
136.     for(int i = n - 1; i >= 0; i--)  
137.     {  
138.         if(a[i] != 0 && flag)  
139.         {  
140.             printf("%d", a[i]);  
141.             flag = 0;  
142.         }  
143.         else if(!flag)  
144.             printf("%d", a[i]);  
145.     }  
146.     puts("");  
147. }  
148.   
149. int main()  
150. {  
151.     GetWn();  
152.     while(scanf("%s%s", A, B)!=EOF)  
153.     {  
154.         int len;  
155.         Prepare(A, B, a, b, len);  
156.         Conv(a, b, len);  
157.         Transfer(a, len);  
158.         Print(a, len);  
159.     }  
160.     return 0;  
161. }