Codeforces Round #228 Div1 B Fox and Minimal path

    这道题的意思大致就是给你一个数k(k<=10^9)，要你用不超过1000个点构建一张图，使得这张图中从1号点到n号点刚好有k条最短路。

    想法很简单，乘法原理加加法原理就可以解决了。

    我的想法就是下面这张图:

    比如，上面这张图就是k=31=11111的图，我们把k化为2进制后，从左到右，先加

1—>3这条边，然后加3—>4,3—>5,4—>5,5—>6这四条边，就将总的方案数乘以了2，得到了2=10的图，再加上1—>6的这一条边，方案数+1，变为了3=11的方案数，继续将11左移，即加上6—>7,6—>8,7—>9，8—>9这四条边，方案数就变为了6=110，再+1得到7=111的图，以此类推。

   所以，对于一个数k，我们从二进制的左边第一位开始向右找，每移动一位就加三个点，使方案数*2，若当前位上为1，则在下方加一条边从1连到当前的点，将方案数+1，否则不加，这样就构造出了整个图。

    因为要保证最短路，所以下方的路径要与上方对应，如图所示的加一条边的方法是非常节约点的，但本人的代码因为是在考场上写的，因此多加了很多无用的点，最极端的数据会用到899个点，但如果像上图一样加边的话，最多60*5个点就够了，代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;/*  101-->1011(加一条边)-->10110(*2) */int cnt,ll,last,k;//last表示加倍时应连接的最后一个点,cnt为点的总数int f[1000+10][1000+10];void expand()//方案数加倍{f[last][cnt+1]=f[last][cnt+2]=1;f[cnt+1][last]=f[cnt+2][last]=1;cnt+=3;f[cnt][cnt-1]=f[cnt][cnt-2]=1;f[cnt-1][cnt]=f[cnt-2][cnt]=1;ll+=2;last=cnt;}void add()//新加一条边{int ret=cnt;cnt+=ll;cnt--;int la=1;for(int j=ret+1;j<=cnt;j++){f[la][j]=f[j][la]=1;la=j;}f[la][last]=f[last][la]=1;}int lowbit(int x){  return x&(-x);}void work(){   int sum,tt=0;   int ret=k;   while(ret)   {   sum=lowbit(ret);    ret-=lowbit(ret);   }   //求第一个1   while(sum)   {   sum=(sum>>1);   tt++;   }   //初始化，有一条边，最后一个点是3   f[1][3]=1;   f[3][1]=1;   ll=1;   cnt=3;   last=3;      for(int i=tt-2;i>=0;i--)   {    expand();//左移一位    if((1<<i)&k)    {    add();//为1，加1条边    }   }   //最后一个点连上2   f[last][2]=1;   f[2][last]=1;   //输出   printf("%d\n",cnt);      for(int i=1;i<=cnt;i++)   {     for(int j=1;j<=cnt;j++)     {      if(f[i][j])      {         printf("Y");      }       else printf("N");     }     printf("\n");   }   }int main(){  scanf("%d",&k);    work();    return 0;}

   当然，Gemini同学用十进制也做出来了，还抢了一血，对其机智表示膜拜。

   下来后还看到了一份神代码，只用了100个点，还是为了凑整，简直膜拜，代码如下(注释是本人加的)：

#include <stdio.h>#include <string.h>const int N = 105;int g[N][N];inline void set (int x, int y) {g[x][y] = g[y][x] = 1;}void init () //预处理出初始图 {memset(g, 0, sizeof(g));set(1, 3); set(1, 4); set(2, 100);for (int i = 3; i < 60; i += 2) //交叉加边 {set(i, i+2); set(i, i+3);set(i+1, i+2); set(i+1, i+3);}for (int i = 63; i < 100; i++) set(i, i+1);//直线连边 }void solve () {int k;scanf("%d", &k);for (int i = 30; i; i--) if (k >= (1<<i)) //二进制加边 {k -= (1<<i);set(2*i+1, 63+i); set(2*i+2, 63+i);}if (k) set(1, 63);}void put () //输出地图 {printf("100\n");for (int i = 1; i <= 100; i++) {for (int j = 1; j <= 100; j++)printf("%c", g[i][j] ? 'Y' : 'N');printf("\n");}}int main () {init();solve ();put();return 0;}

    代码很短，只有49行，运行速度超快。

    什么意思呢，大概如下图：

    他是先构建了一个这样的图，其中到3,4号点的路有1条，5,6有两条，61,62有2^29条路，这样的话，如果当前要加1的方案数，只需将1号点连到63号点，若要加2，则将3,4,一起连到64号点，以此类推。可以证明这些路的长度相等。因此，我们将k化为二进制，然后扫一遍，有1则加边，不然不管，就将图构建出来了。

    只能膜拜了。