欧几里德游戏

一 欧几里德游戏描述：

       一开始，板上写有两个不相等的正整数。两个玩家交替写数字，每一次，当前玩家都必须在板上写出任意两个板上数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，不能与板上任何一个已有的数字相同。当玩家再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动呢？

二 该问题分析过程

     注意该题分析时，板上的数字不考虑0和负数。

     举例说明：

        1）假设一开始板上有的数字为5和7，那么能够写出的序列是2,3,4,1,6（序列是任意的），因此应该是先行动。

         观察板上的全部数字是 1，2，3，4，5，6，7；共7个数字

        2）假设一开始板上有的数字为3和9，那么能够写出的序列是6（序列是任意的），因此应该是先行动。

        观察板上的全部数字是3，6，9 ；共3个数字

        3）假设一开始板上有的数字为2和8，那么能够写出的序列是4,6（序列是任意的），因此应该是后行动。

        观察板上的全部数字是2，4，6，8 ；共4个数字

        4）假设一开始板上有的数字为24和60，那么能够写出的序列是36，12，48（序列是任意的），因此应该是先行动。

         观察板上的全部数字是12，24，36，48，60共5个；

     观察可得出，板上写出来的数字都是一开始那两个数字m，n的最大公约数 r 的倍数。其实，实质就是与欧几里德算法求最大公约数有关。

     欧几里德算法 （求最大公约数），就是我们常说的辗转相除。除法是与减法相对应的运算，所以我们将两个不相等的正整数辗转相减，得到的最小值一定是这两个数的最大公约数。（如果你实在不能理解，就先去弄懂辗转相除求最大公因数的实质）。

     因此，由以上分析可得，板上的数字一定都是r 的倍数，且一定小于m，n中较大的数。所以，我们选择 m ，n 中的较大数，然后除以r  就可得出板上的全部数字的个数。若数字为偶数，则后行动；若该数字为奇数，则先行动。

三 实现代码

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cmath>
int gcd(int m,int n)     //求最大公约数
{
    int r;
    while(n)
    {
        r=m%n;
        m=n;
        n=r;
    }
    return m;
}

int EuclidGame(int m,int n)
{
    int r;
    if(m<=0||n<=0||m==n)  //检测输入 两个不相等的正整数
        return -1;
    r=gcd(m,n);
    if(m>n)
        return (m/r)%2;
       else
        return (n/r)%2;
    
}
int main()
{
    int m,n;
    int result;
    cout<<"请输入两个不相等的正整数："<<endl;
    cin>>m>>n;
    result=EuclidGame(m,n);
    if (result==-1)
        cout<<"输入错误！注意：应该输入两个不相等的正整数。"<<endl;
      else if(result)
        cout<<"先行动会赢！"<<endl;
        else
          cout<<"后行动会赢！"<<endl;
}

四  参考

1   blog.sina.com.cn/s/blog_7496d1d60100t7qe.html

2 Anany Levitin 《算法设计与分析基础》(第2版)