NYOJ --法雷数列（一）

法雷数列（一）

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难度：4

描述

对任意给定的一个自然数n，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上0/1，在最后一个分数之后加上1/1，这个序列称为n级法雷数列，以Fn表示。如F5为：0/1,1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5,1/1.

现在给出n让你求其n级法雷数列。

输入

有多组测试数据组数小于1003，
每组测试数据有一个整数n(0<n<=100).

输出

输出n级法雷数列。

样例输入

15

样例输出

0/1,1/10/1,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,1/1

来源

经典题目

Farey Sequence 的构造

思路：

法雷数列的构造可采用2分法，即如果 a/b， c/d （a/b <c/d）是一个n级法雷数列中的两个元素，且b+d <=n,  则可以在a/b, c/d 中间插入一个分数 (a+b)/(c+d)。下面以5级法雷数列为例，给出详细的过程。

step1: 准备两个数 0/1, 1/1 作为整个法雷数列的第一个元素和最后一个元素
　　0/1, 1/1
step2: 在两个数中间插入1个数1/2, 变为
　　0/1, 1/2, 1/1
step3: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为
　　0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1
step4: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为
　　0/1, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 1/1
step5: 0/1 和 1/4 之间 和3/4和 1/1 仍然可插入1个数，使得插入的数分母不大于5
　　0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1
至此，该序列包含了所有分母不大于5的最简真分数，且各个分数以递增顺序排列。

#include<cmath>#include<queue>#include<stack>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define Max(a,b) a>b?a:b#define Min(a,b) a>b?b:a#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))int dir[4][2]= {{0,-1},{-1,0},{0,1},{1,0}};int N;void farey(int a,int b,int c,int d){    if(b+d>N) return ;    if(b+d==N)    {        printf("%d/%d",a+c,b+d);        if(a+c!=N-1) printf(",");        return ;    }    farey(a,b,a+c,b+d);    printf("%d/%d,",a+c,b+d);    farey(a+c,b+d,c,d);}int main(){    while(cin>>N)    {        if(N==1)            printf("0/1,1/1\n");        else        {            printf("0/1,");            farey(0,1,1,1);            printf(",1/1\n");        }    }    return 0;}