NYOJ 762 第k个互质数（二分 + 容斥）

第k个互质数

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难度：4

描述

两个数的a，b的gcd为1，即a，b互质，现在给你一个数m，你知道与它互质的第k个数是多少吗？与m互质的数按照升序排列。

输入

输入m ，k （1<=m<=1000000;1<=k<=100000000）

输出

输出第k个数。

样例输入

10 110 210 3

样例输出

137

首先，根据欧几里得可知，gcd(b * t + a, b) = gcd(a, b)(t为任意整数），则如果a与b互质，则b * t + a与b也一定互质，如果a与b不互质，则b*t+a与b也一定不互质，所以与m互质的数对m取模具有周期性。可以先求出1~m之间有多少个数与m互质，然后根据周期性去求第k个与m互质的数。

#include <cstdio>const int N = 1000005;int a[N];int gcd(int a, int b) {    while(b) {        int r = a % b;        a = b;        b = r;    }    return a;}int main() {    int m, k;    while(~scanf("%d%d", &m, &k)) {        if(m == 1) {            printf("%d\n", k);            continue;        }        int num = 0;        for(int i = 1; i < m; i++)            if(gcd(m, i) == 1)                a[num++] = i;        int p = k / num;        if(k % num == 0) p--;        k %= num;        if(k == 0) k = num;        printf("%d\n", p * m + a[k-1]);    }    return 0;}

用上面的方法可以在POJ上AC，可惜的是，在NYOJ上TLE了。所以要寻找一个更快的解决方案，也就是下面的二分+容斥。

首先对m进行质因数分解，求出m有哪些质因数，然后用容斥求[1, mid]内与m互质的数有多少个。

判断的时候，[1,mid]之间与m互质的数的数量 = mid - （包含一个质因子的数的个数）+ （包含2个质因子的书的个数）-（包含3个质因子的数的个数）+ （包含4个质因数的数的个数）……

#include <cstdio>// 对n进行素因子分解， fac[0]记录因子个数；int fac[20];void Div(int n) {    int k = 0;    for(int i = 2; i * i <= n; ++i){        if(n % i == 0) fac[++k] = i;        while(n % i == 0) n /= i;    }    if(n > 1) fac[++k] = n;    fac[0] = k;}// 计算[1, n]内与m互质的数的个数int que[1<<10];int Count(int n, int m) {    int g = 0, sum = n;    que[++g] = 1;    for(int i = 1; i <= fac[0]; ++i){        int t = g;        for(int j = 1; j <= g; ++j){            que[++t] = que[j] * fac[i] * -1;            sum += n / que[t];        }        g = t;    }    return sum;}// 二分，二分枚举一个答案mid，计算[1, mid]内有多少个数与m互质，让答案与K比较；int Binary_search(int m, int K){    int l = 1, r = 2000000000, mid;    while(l <= r){        mid = (l + r) >> 1;        if(Count(mid, m) >= K) r = mid - 1;        else l = mid + 1;    }    return l;}int main(){    int m, K;    while(scanf("%d%d", &m, &K) != EOF)    {        Div(m);        int ans = Binary_search(m, K);        printf("%d\n", ans);    }    return 0;}