Bloom Filter 背景与详细公式推导

Bloom Filter 提出背景：

    在对元素进行存储时，Hash散列能够比较有效的对元素进行存储，而且相对来说能够得到比较均匀的分布，其原理是对元素进行Hash散列得到其在存储空间中的具体位置，然后插入，当然会有冲突的出现，处理方式是采用链表或者再散列的方式。然而这种Hash方法存在两点不足：

    1：在数据存储过程中，如果元素长度过大，那么将造成需要很大的存储空间。

    2：在搜索过程中，虽然能够实现精确匹配，但是却非常耗时。

    为了解决传统Hash存在的不足，Bloom Filter应运而生，其对每个元素进行编码，当然编码后的长度相比于原始数据的长度要小很多，这样一来他需要的存储空间就小了很多，Hash存在的问题1得到一定改善，同时由于进行了编码，长度变小，匹配的过程中单个匹配需要的时间也短了，问题2得到一定改善。

    然而Bloom Filter存在也不足，首先各个元素的编码可能存在冲突，进而导致误判的存在，其次由于Bloom Filter算法的思想导致其在删除元素时会存在一些问题，主要是因为其设计思想导致的接下来将会知道为什么会这样，闲话不说，上思想和公式推导：

Bloom Filter思想与公式推导

    初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为0。

    为了表达S={x₁, x₂,…,x_n}这样一个n个元素的集合，Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映射的位置h_i(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。

在判断w是否属于这个集合时，我们对w应用k次哈希函数，如果所有h_i(w)的位置都是1（1≤i≤k），那么我们就认为w是集合中的元素，否则就认为w不是集合中的元素。图中w就不是集合中的元素。

错误率估计

前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x₁, x₂,…,x_n}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：

    其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中，需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e^-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：

    

    令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：

   (1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)^k就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明^[2]，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：

相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

    既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

    先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e^−kn/m))，我们令g = k ln(1 − e^−kn/m)，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e^-kn/m，我们可以将g写成

    根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于(1/2)^k≈(0.6185)^m/n。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

    需要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)^kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)^kn)，p’ = (1 − 1/m)^kn，我们可以将g’写成

   同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时，g’取得最小值。

位数组的大小

    下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为є，下面我们来求位数组的位数m。

    假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够є (u - n)个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示的集合数如下：

    m位的位数组共有2^m个不同的组合，进而可以推出，m位的位数组可以表示的数目和全集中n个元素的集合数目如下，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须满足以下公式：

    进而推导出关于m的如下公式：

    上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际情况中常常发生的，其中的约等号推导如下：

    根据上式，我们得出结论：在错误率不大于є的情况下，m至少要等于n log₂(1/є)才能表示任意n个元素的集合。上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)^k= (1/2)^{mln2 / n}。现在令f≤є，可以推出

    这个结果比前面我们算得的下界n log₂(1/є)大了log₂e≈1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

    至此，Bloom Filter的所有步骤都整理完毕，感谢连接中的博主的文章，我大多数都参考这篇文章，只是对他的某些步骤的省略做了公式推导而已，接下来将介绍的是Bloom Filter 的各种拓展了，望大家继续关注！

参考文献：Bloom Filter概念和原理http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500