二叉树

二叉树(Binary Tree)----是n(n >=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根结点和两颗互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

特点：

1.每个结点最多有两科子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

2.左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

3.即使树中某结点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树的5种基本形态：

1.空二叉树

2.只有一个根结点

3.根结点只有左子树

4.根结点只有右子树

5.根结点既有左子树又有右子树

特殊二叉树

1.斜树

顾名思义，斜树就是一定要斜的树。所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。

2.满二叉树

在一颗二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层，这样的二叉树称为满二叉树。

3.完全二叉树

对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(i =<i =<n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全不同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

完全二叉树的特点：

1.叶子结点只能出现在最下两层

2.最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

3.倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置

4.如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况

5.同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

所以给了我们一个判断某二叉树是否是完全二叉树的办法，那就是看着树的示意图，心中默默给每个结点按照满二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现空挡，就说明不是完全二叉树，否则就是。

二叉树的性质：

性质1。 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点。

性质2.深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点。

性质3.对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数位n2,则n0 = n2 +1

性质4.具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2(n) +1]([]在这里表示向下取整)。

性质5.如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任意结点i有：

1.如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2](这里[]表示向下取整)

2.2i >n，则结点i无左孩子，否则其左孩子是结点2i

3.如果2i + 1 >n，则结点i无右孩子，否则其右孩子是结点2i + 1.

二叉链表存储：

二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，称这样的链表而二叉链表。其结构如下：

其中，data是数据域，lchild和rchild就是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。以下是二叉树的链式存储的结构代码：

typedef struct BiTNode{      TElemType data;       struct BiTNode *lchild,rchild;} BiTNode , *BiTree;

结构示意图如下：

遍历二叉树

二叉树的遍历----指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

1.前序遍历

若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如下图，遍历顺序为：ABDGHCEIF

代码如下：

void  PreOrderTraverse(BiTree T){if(T == NULL)return;printf("%c ",T->data);PreOrderTraverse(T->lchild);PreOrderTraverse(T->rchild);}

中序遍历：

规则是，若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后是中序遍历右子树。遍历顺序如下：GDHBAEICF

实现代码如下：

void  InOrderTraverse(BiTree T){if(T == NULL)return;InOrderTraverse(T->lchild);printf("%c ",T->data);InOrderTraverse(T->rchild);}

后序遍历：

规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。遍历的顺序为：GHDBIEFCA

实现代码如下：

void PostOrderTraverse(BiTree T){if(T == NULL)return;PostOrderTraverse(T->lchild);PostOrderTraverse(T->rchild);printf("%c ",T->data);}

层序遍历：

规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在用一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。遍历顺序为：ABCDEFGHI

二叉树的建立：

对于普通的二叉树，我们进行扩展，并对扩展的结点作为虚结点引入一个特定的值表示“#”,扩展后的二叉树叫做扩展二叉树。如下图所示：

这样我们就可以生产一颗二叉树了，假设二叉树的结点均为一个字符，输入：AB#D##C##

void CreateBiTree(BiTree *T){TElemType ch;scanf("%c",&ch);if(ch == '#')*T = NULL;else{*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTree));if(!*T)exit(OVERFLOW);(*T)->data = ch;CreateBiTree(&(*T)->lchild);CreateBiTree(&(*T)->rchild);}}