hdu-3037(lucas定理求大组合数取模)
来源:互联网 发布:coc大本营升级数据 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 00:53
下面简单介绍一下Lucas定理:
Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p的值,p是素数(从n取m组合,模上p)。
描述为:
A、B是非负整数,p是质数。AB写成p进制:A=a[n]a[n-1]...a[0],B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) modp同余
即:Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;
简单的理解就是:
以求解n! % p 为例,把n分段,每p个一段,每一段求得结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p,2p,...,把p提取出来,会发现剩下的数正好又是(n/p)! ,相当于
划归了一个子问题,这样递归求解即可。
这个是单独处理n!的情况,当然C(n,m)就是n!/(m! *(n-m)!),每一个阶乘都用上面的方法处理的话,就是Lucas定理了
Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右。
而C(a,b) =a! / ( b! * (a-b)! ) mod p
其实就是求 ( a! / (a-b)!) * ( b! )^(p-2) mod p
(上面这一步变换是根据费马小定理:假如p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒为1,
那么a和a^(p-2)互为乘法逆元,则(b / a) = (b * a^(p-2) ) mod p)
用下面的Lucas定理程序实现就能得出结果,实现过程中要注意乘法时的强制转换
题意:将不大于m颗种子存放在n颗树中,问有多少种存法。
首先是不大于m颗种子,我没可以认为少于m的那些种子存放在了第n+1颗树上,这样的话,问题就转化成了将m颗种子存放在n+1颗树上的方案数。ok这个是组合数学里面的公式,亦即插板法,也就是X1+X2+X3+……+Xn+1 = m;ok,答案是C(n+m,m);
然后就是上面说的Lucas定理解决大组合数问题了
#include <iostream>typedef long long int lld;using namespace std;lld pow(lld n,lld m,lld p)//n的m次幂%p{ lld res=1; while(m) { if(1&m) res=res*n%p; n=n*n%p; m>>=1; } return res;}lld C(lld n,lld m,lld p)//利用费马小定理求C(n,m)%p{ lld a=1; lld b=1; if(m>n) return 0; while(m) { a=a*n%p; b=b*m%p; m--; n--; } return a*pow(b,p-2,p)%p;}lld Lucas(lld n,lld m,lld p)//{ if(m==0) return 1; return (C(n%p,m%p,p)* Lucas(n/p,m/p,p))%p;}int main(){ lld t,m,n,p; cin>>t; while(t--) { cin>>n>>m>>p; cout<<Lucas(n+m,m,p)<<endl; } return 0;}
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