大整数求组合数取余（Lucas定理）

【卢卡斯（Lucas）定理】

Lucas定理用来求C（a,b）mod p的值,其中p为素数。

数学表达式为：

Lucas(a,b,q)=C(a%q,b%q)*Lucas(a/p,b/p,p);

Lucas(a,0,q)=1;

通过这个定理就可以很方便的把大数的组合转化成小数。但其中还是要求C(a%q,b%q)%p，所以这里引入逆元来求。

【定义】若整数a,b,p, 满足a·b≡1(mod p).则称a 为b 模p 的乘法逆元, 即a=b- 1mod p.其中, p 是模数。

应用到组合数中来就是:

 a!/[b!*(a-b)!] % p == a! * [b!*(a-b)!]-1 %p

【逆元求法】：

应用费马小定理，ap-1=1 mod p ，即  a*ap-2=1 mod p

也就是说  ap-2就是a的逆元。

当然这里求出来的逆元是在取模p的逆元，对我们最终目标没有影响。这也是比较方便而且比较好的方法。

弄个模板来。

#include <cstdio>  #include <iostream>  #include <cmath>  #include <cstring>  #include <algorithm>  using namespace std;  #define maxn 100010  typedef long long LL;  LL m,n,p;  LL Pow(LL a,LL b,LL mod)  {      LL ans=1;      while(b)      {          if(b&1)          {              b--;              ans=(ans*a)%mod;          }          else          {              b/=2;              a=(a*a)%mod;          }      }      return ans;  }  LL C(LL n,LL m)  {      if(n<m)          return 0;      LL ans=1;      for(int i=1;i<=m;i++)      {          ans=ans*(((n-m+i)%p)*Pow(i,p-2,p)%p)%p;      }      return ans;  }  LL Lucas(LL n,LL m)  {      if(m==0)          return 1;      return (Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p))%p;  }  int main()  {      int t;      scanf("%d",&t);      while(t--)      {          scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);          printf("%lld\n",Lucas(n,m));      }      return 0;  }