【Note】动态规划初步1-Ch9-《算法竞赛入门经典2nd》

第一个博客的第一篇文章，献给算法。

最近在学习《数据结构与算法设计》这门课，老师讲的很快，笔者之前从未设计过信息学竞赛之类的东西，又深知DP问题的博大精深，希望通过读书来获得一些新的知识与技能，博文不仅可以传递知识，让读者们指出我的错误，又可以当作自己复习的资料，是很好的选择。我喜欢这种分享的精神。

所以，开始了！

9.1   数字三角形

定义状态d(i, j)为从格子(I, j)出发时能得到的最大和（包括格子本身的值）。原问题的解转换为求解d(1,1)。我们得到了状态转移方程：d(I,j) = a(I, j) + max{ d(i+1, j) , d(i+1, j+1) }

注：i为行数，j为此行的列数。

动规问题的核心是状态和状态转移方程。

9.1.2介绍了三种处理方法，第一个是递归计算，由于大量的重复计算显然不好；第二个是递推计算，是一个还不错的选择；第三个是记忆化搜索，其实就是融合了第一种方法，将已经算过的值额外保存下来。具体地，我们将每个值赋为-1，因为-1这个数字永远不可能“通过计算得到”，所以相当于一个安全的信号。

9.2 DAG上的DP

9.2.1 DAG模型

嵌套矩形问题：二元关系，用图论知识建模，有向图，无环。我们希望求得这个图中最长的路径。此外，题目还要求矩形编号的字典序尽量小。

设d(i)表示从i出发的最长路长度，状态转移方程：d(i)= max{ d(j)+1 | (i, j)属于Edge集合}

int dp(int i)方法为记忆化搜索程序，有些令人困惑的是如果要跑完整个程序，应该另i的值为多少呢？打个比方，现在的二元关系的整除关系，有{2,3, 4 ,6, 12, 40, 61}，那么我们可以发现，2和3两个数字之前不存在二元关系，3和4之间亦然，那么如果取i=2，另一条支路3就没有被遍历到。不过像61这样的独立子图，不需要遍历。

还有一个让我想了一会的话是，“只把break语句删除是不够的”。其实仔细想想也很简单，打印出来的只是一颗树通过DFS搜索，而并不是完整的一条条routine。

 

硬币问题：

状态：“还需要凑够的面值”，初始状态是S，目标状态为0。求硬币数目的min和max。定义V（也就是value）为硬币面值，如价值五元的硬币有V(j)=5。现在的状态为i，使用了j，转移到i-V_j。

d(i)定义为从i出发到节点0的最长路径长度。代码如下。Python3.4.

字典序这样的细节可能还要推敲一下。

接下来我会实践部分的例题和习题，数了一下如果都完成有50+的题目量呢。但愿在学期结束之前能写完大部分想写的。