不懂算法之带分数

题目描述

标题：带分数
100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714
还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197
注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。
类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。
题目要求：
从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)
程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！

例如：
用户输入：
100
程序输出：
11
再例如：
用户输入：
105
程序输出：
6

资源约定：
峰值内存消耗 < 64M
CPU消耗 < 3000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>， 不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交时，注意选择所期望的编译器类型。

哎，说来也是惭愧，今天去参加校内蓝桥杯选拔赛，编程题最后一题就是这个，前面几道全是用穷举法做，这一道也很自然的想到用穷举法。但是粗略一想，我想先把这个带分数表达式先搞成字符串的形式，但是深入一想。。那尼玛是个无底洞，，果断放弃。之后观察第一个整数和分数的分子分母有什么关系么。。果然，没有，至少我看不出来。怪自己算法思想不够，数学功底欠缺，没有考虑分数的分子分母的位数在N（N<1000*1000&数字1~9分别出现且只出现一次）的条件下是有个上界的。

如果分母是一个五位数，那么分子也必须至少为五位数，因为如果分子不是五位数，那么这个分数一定是小于1的，那也就不可能是这个解了。既然分子分母都是五位数，又只有9个数字，那么分母不可能是五位数。所以这个分数分母的位数最多是4位，最少是1位。

对于第一个整数，由于N<1000*1000，至少存在如下关系不等式：

1 <= 这个整数的位数 <= N的位数；

如果这个整数的位数大于了N的位数，则肯定不是这一种可能了。

既然确定了整数和分母，分子其实可以通过反表示法来表示了：

a + b / c = n;    --->     b = (n - a) * c;

设该等式形式为： 

    left + up / down = n;

核心代码：

        for(down = 1; down < 10000; down++)
{
for(left = 1; left < Pow(10, n_bit); left++)
{
up = (n - left)*down;
   if(Check(left, up, down))
    {
    count++;
    printf("%ld + %ld / %ld\n", left, up, down);
   }    
}
}

解释：

外循环对分母从1到10000（分母是不会超过四位数的）循环，内循环对整数从1到10的n的位数次方（上面分析过整数的位数不会超过n的位数），那么整数和分母的值现在已经是确定了的，所以分子的值也是确定了。剩下的就只是判断这三个数1~9这九个数字是不是有且仅出现了一次即可，交给Check函数来做（如果满足要求，返回1,；否则返回0），如果满足了要求，那么计数变量count就自增1，然后输出这种情况下的表达式。

下面附上完整代码：

#include<stdio.h>int Num_Bit(long x);long Pow(int x, int y);int Check(long left, long up, long down);int main(void){int n;int count = 0;long up, left, down;int n_bit, up_bit, down_bit, left_bit;printf("Enter n: ");scanf("%d", &n);n_bit = Num_Bit(n);for(down = 1; down < 10000; down++){for(left = 1; left < Pow(10, n_bit); left++){up = (n - left)*down;    if(Check(left, up, down))    {    count++;    printf("%ld + %ld / %ld\n", left, up, down);    }    }}printf("count: %d\n", count);return 0;}int Num_Bit(long x){int bit = 0;while(x){x = x/10;bit++;}return bit;}long Pow(int x, int y){int i;long z = 1;for(i = 1; i <= y; i++)    z *= x;        return z;}int Check(long left, long up, long down){int a[9] = {0};int t;while(left){t = left%10;if(t == 0)    return 0;a[t-1]++;left = left/10;}while(up){t = up%10;if(t == 0)    return 0;a[t-1]++;up = up/10;}while(down){t = down%10;if(t == 0)    return 0;a[t-1]++;down = down/10;}for(t = 0; t < 9; t++){if(a[t]!= 1)    return 0;}return 1;}