poj.1006

Source Code

Problem: 1006 User: mengerMemory: 164K Time: 63MSLanguage: C++ Result: Accepted

• 人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

  中国剩余定理，本题难点不在编程，而是分析题目并转化为数学公式

  要引入本题解法，先来看一个故事 “韩信点兵”：
  传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人，后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2），由于已经知道士兵总人数在2300~2400之间，所以韩信根据23，128，233，------，每相邻两数的间隔是105（3、5、7的最小公倍数），便立即说出实际人数应是2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官十分敬佩，这就是韩信点兵的故事。

  韩信点兵问题简化：已知 n%3=2, n%5=3, n%7=2,求n。

  
  再看我们这道题，读入p,e,i,d 4个整数

  已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i ,求n。

  两道题是一样的。但是韩信当时计算出结果的？
  韩信用的就是“中国剩余定理”，《孙子算经》中早有计算方法，大家可以查阅相关资料。
  “韩信点兵”问题计算如下：

  因为n%3=2, n%5=3, n%7=2且 3，5，7互质（互质可以直接得到这三个数的最小公倍数）

  令x= n%3=2 ， y= n%5=3 ，z= n%7=2
  使5×7×a被3除余1，有35×2=70，即a=2；
  使3×7×b被5除余1，用21×1=21，即b=1；
  使3×5×c被7除余1，用15×1=15，即c=1。
  那么n =（70×x+21×y+15×z）%lcm(3,5,7) = 23这是n的最小解

  而韩信已知士兵人数在2300~2400之间，所以只需要n+i×lcm(3,5,7)就得到了2333，此时i=22

  同样，这道题的解法就是：

  已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i
  使33×28×a被23除余1，用33×28×8=5544；
  使23×33×b被28除余1，用23×33×19=14421；
  使23×28×c被33除余1，用23×28×2=1288。
  因此有（5544×p+14421×e+1288×i）% lcm(23,28,33) =n+d

  又23、28、33互质，即lcm(23,28,33)= 21252;
  所以有n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%21252

  本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为n= [n+21252]% 21252
  那么最终求解n的表达式就是：

  n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;

  当问题被转化为一条数学式子时，你会发现它无比简单。。。。直接输出结果了。

   

  Source Code

  #include<iostream>using namespace std;int main(){int p,e,i,d,a,t=0;while(1){scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d);if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1)break;a=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;if(!a)a=21252;printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",++t,a);}return 0;}