流形的简单知识

1简介

流形(manifold)是指局部具有欧氏空间性质的空间，是欧氏空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧氏就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘结而成。

    例如，人们曾经以为地球是平的。这是因为相对于地球来说，人类实在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。

    像旅行的时候，会用平面的地图来指示方位。如果将整个地球的各个地区的地图合成一本地图集，那么在观看各个地区的地图后，就可以在脑海中“拼接”出整个地球的景貌。为了能让读者顺利从一张地图接到下一张，相邻的地图之间有重叠的部分，以便在脑海中“粘合”两张图。

描述一个流形往往需要不止一个“地图”，因为一般来说流形并不是真正的欧氏空间，举例来说，地球就没法用一张平面的地图来描绘。

流形要求局部“看起来像”简单的空间，这并不是一个简单的要求。例如，在地上吊一根绳，这个整体就不是一个流形。包含了线和球连接的那一点的附件区域一定不是简单的：既不是线也不是面，无论这个区域有多小。

2引例

圆是除欧氏空间外的拓扑流的一个简单例子。考虑一个半径为1，圆心在原点的圆。若x和y是圆上的点的坐标，则有x^2+y^2=1。局部看来，圆像一条线，而线是一维的，换句话说，只要一个坐标可以在局部描述一个圆，例如，圆的上半部分，y坐标大于0的部分。