第六章 图

6.1  图的逻辑结构

6.1.1图的定义和逻辑结构

1.图的定义

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：

                           G=(V，E)

其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。

在线性表中，元素个数可以为零，称为空表；

在树中，结点个数可以为零，称为空树；

在图中，顶点个数不能为零，但可以没有边。

如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。

如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

2.图的基本术语

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。

（1）线性结构

在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系；

在树结构中，结点之间具有层次关系；

在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系

(2)无向完全图和有向完全图

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。

（3）稠密图和稀疏图

  稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；

稠密图：称边数很多的图为稠密图

（4）顶点地度。入读。出度

。顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD (v)。

顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)；

顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。

（5）权。网

权：是指对边赋予的有意义的数值量。

网：边上带权的图，也称网图

（6）路。路径长度。回路

路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq)，其中，(vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。

简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。

简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。

（7）连通图。连通分量

连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。

连通分量：非连通图的极大连通子图称为连通分量

（8）强连通图。强连通分量

强连通图：在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj (i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。

强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。

（9）生成树。生成森林

生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。

生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

6.2图的存储结构和实现

6.2.2 邻接表

1.构造函数

ALGraph算法

 template <class DataType>

ALGraph<DataType> :: ALGraph(DataType a[ ], int n, int e)

{

    vertexNum = n; arcNum = e;

    for (i = 0; i < vertexNum; i++)

   {                                             //输入顶点信息，初始化顶点表

        adjlist[i].vertex = a[i];

        adjlist[i].firstedge = NULL;     

    }

     for (k = 0; k < arcNum; k++) //输入边的信息存储在边表中

    {

         cin>>i>>j;   

         s = new ArcNode; s->adjvex = j;             

         s->next = adjlist[i].firstedge;   

         adjlist[i].firstedge = s;

     }

}

2.深度优先遍历算法

template <class DataType>

void ALGraph<DataType> :: DFSTraverse(int v)

{

    cout << adjlist[v].vertex;  visited[v] = 1;

    p = adjlist[v].firstedge;       //工作指针p指向顶点v的边表

    while (p != NULL)              //依次搜索顶点v的邻接点j

    {

        j = p->adjvex;

        if (visited[j] == 0) DFSTraverse(j);

        p = p->next;          

    }

}

3.广度优先遍历算法

template <class DataType>

void ALGraph<DataType> :: BFSTraverse(int v)

{

    front = rear = -1;   //初始化顺序队列

    cout << adjlist[v].vertex; visited[v] = 1; Q[++rear] = v;

    while (front != rear)           //当队列非空时

    {

        v = Q[++front];

        p = adjlist[v].firstarc;       //工作指针p指向顶点v的边表

        while (p != NULL)

        {

            j = p->adjvex;

            if (visited[j] == 0) {

               cout << adjlist[j].vertex; visited[j] = 1;Q[++rear] = j;

           }

           p=p->next;

        }

    }

}

6.3最小生成树

6.3.最小生成树的定义

生成树的代价：设G = (V, E)是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。

最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。

6.4最短路径

在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。

在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。

问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。

应用实例——计算机网络传输的问题：怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。

图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构  

数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。

数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。

数组s[n]：存放源点和已经生成的终点，其初态为只有一个源点v。